Scheda programma d'esame
ANALISI REALE
VALENTINO MAGNANI
Anno accademico2018/19
CdSMATEMATICA
Codice551AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
ANALISI REALEMAT/05LEZIONI42
VALENTINO MAGNANI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Conoscenza degli elementi fondamentali di teoria della misura e teoria dell'integrazione in spazi mensurali, comprendendo l'integrale di Lebesgue ed il confronto con la teoria di Riemann. Studio delle misure boreliane, di Radon, di Carathéodory e di Hausdorff. Conoscenza dei teoremi di Lusin, e di Egorov. Teoremi di Fatou, di Beppo Levi e di Lebesgue. Misure prodotto, teorema di Tonelli e di Fubini su spazi mensurali. Teorema di rappresentazione di Riesz, spazi di Lebesgue astratti, loro proprietà basilari, misure a valori in uno spazio di Banach, cenni all'integrale di Bochner, misure assolutamente continue rispetto ad un'altra misura e teorema di Radon-Nikodym. Teoremi di ricoprimento di Vitali, differenziabilità quasi ovunque delle funzioni monotone, funzioni assolutamente continue e a variazione limitata in spazi metrici, caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue tramite il teorema fondamentale del calcolo.  Misura e dimesione di Hausdorff, calcolo della dimensione di Hausdorff di frattali, mappe holderiane e misura di Hausdorff, uguaglianza tra misura di Hausdorff e misura di Lebesgue, formula dell’area nello spazio euclideo.

Knowledge

Knowledge of basic facts from measure theory and the theory of integration in abstract measure spaces. Lebesgue integral in Euclidean space and comparison with the Riemann integral. Study of Borel, Radon, Carathéodory and Hausdorff measures. Knowledge of Lusin and Egorov theorems. Fatou, Beppo Levi and Lebesgue theorems. Product measures, Tonelli and Fubini theorems in abstract measure spaces. Riesz representation theorem in locally compact spaces, Lebesgue spaces and their basic properties, Banach valued measures, basic facts on the Bochner integral, absolute continuity of the integral, Radon-Nikodym theorem. Vitali covering theorems, almost everywhere differentiability of monotone functions, absolutely continuous functions and functions of bounded variations in metric spaces, characterization of absolutely continuous functions by the fundamental theorem of Calculus. Hausdorff measure, Hausdorff dimension of fractals, relationship between holder continuous functions and Hausdorff measure, equality between Hausdorff measure and Lebesgue measure, area formula in Euclidean space.

Modalità di verifica delle conoscenze

La verifica dell'apprendimento avviene tramite un'unica prova orale che verte su tutto il programma d'esame. Qui sono richiesti tutti i risultati del corso, la capacità di saperli esporre e dimostrare, affrontando eventuali esercizi.

Assessment criteria of knowledge

The student's knowledge of all course content is assessed by an oral exam. Clarity of exposition and knowledge of statements and their proofs are taken into special account. The ability to tackle possible exercises or applications will be also considered.

 

Capacità

Lo studente avrà acquisito la padronanza dei principali risultati di Analisi Reale, con il rigore necessario per un loro corretto utilizzo nei diversi campi della Matematica, quali l'Analisi Funzionale, la Teoria delle Probabilità e la Teoria Geometrica della Misura.

Skills

The student is expected to master the main results of Real Analysis. The rigorous knowledge of the course contents provides the student with a solid background, that is useful also for related fields, like functional analysis, probability theory and geometric measure theory.

Modalità di verifica delle capacità

Tutti i risultati del corso sono sviluppati in modo autonomo, ovvero sono costruiti partendo dai fondamenti. Quindi la verifica delle capacità richiede che lo studente sia in grado di ricostruire il risultato più complesso partendo dalle basi. La capacità di risolvere eventuali esercizi rafforzerà tale verifica.

Assessment criteria of skills

All results of the course are essentially self-contained. Therefore the assessment of student skills considers at which extent the student is able to construct an involved result from its basic elements. The ability to solve problems or exercises will be also evaluated.

Comportamenti

Lo studente acquisirà la capacità di continuare anche autonomamente il percorso formativo, incentrandosi su sviluppi più avanzati dell'Analisi Reale. La parte di teoria della misura è propedeutica a varie specializzazioni quali la teoria delle probabilità, l'analisi funzionale e la teoria geometrica della misura.

Behaviors

The student is expected to continue its study towards more advance topics of Real Analysis. In addition, Measure Theory is an important part of the course that is auxiliary to several differents areas, like Probability, Functional Analysis and Geometric Measure Theory.

Modalità di verifica dei comportamenti

La verifica della comprensione e delle applicazioni dell'Analisi Reale avviene nella valutazione della corretta esposizione dei teoremi e delle loro dimostrazioni.

 

 

Assessment criteria of behaviors

The oram exam precisely verifies the student's understanding of theorems and proofs in Real Analysis. This is indeed the basis for further developments and applications.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Anche se il corso si costruisce con concetti elementari, come quelli di funzione e di insieme, la conoscenza dei corsi di Analisi Matematica del primo e del secondo anno sono importanti, soprattutto in relazione agli esercizi e le applicazioni. Sono richieste anche la conoscenza dei primi risultati su spazi vettoriali e operatore lineari.

Prerequisites

Although the course is built from elementary concepts, such as those of function and set, the main results of Mathematical Analysis of the first and the second year are strongly recommended, especially in relation to exercises and applications. The knowledge of basic results on vector spaces and linear operators are also expected to be known.

Corequisiti

Conoscere i primi elementi di Analisi Funzionale è di aiuto, sebbene non strettamente necessario.

Co-requisites

The knowledge of basic results in Functional Analysis is certainly of help, although it is not strictly required.

Indicazioni metodologiche

Il corso è costituito da lezioni frontali alla lavagna. Sebbene le lezioni in sostanza presentino tutto il programma del corso, lo studente dovrà integrare il programma con uno studio individuale che comprende anche gli esercizi dati a lezione e l'eventuale ausilio dei testi consigliati. La frequenza è fortemente consigliata.

Teaching methods

The course develops through lectures at the blackboard. Although the lectures aim to present the whole course material, the student is expected to cover the full program also including the exercises presented during the lectures and the possible use of the reference books. Attending all classes is strongly recommended.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Programma d'esame, a.a. 2018/2019

 

Bibliografia e materiale didattico

Informazioni bibliografiche

Modalità d'esame

L'esame prevede una prova orale su tutto il programma d'esame. La prova richiede la precisa conoscenza dei risultati e dei teoremi del corso assieme alle loro dimostrazioni, ove siano previste. Potrà essere richiesta opzionalmente anche la risoluzione di esercizi.

Assessment methods

The final evaluation is by oral exam, that focusses on the whole course content. The precise knowledge of results and proofs of the course will be carefully assessed. The solution of exercises or problems can be optionally requested.

Notes

The web page of the class is in Italian.

Ultimo aggiornamento 29/05/2019 07:54