Scheda programma d'esame
ANALISI MATEMATICA 3
GIOVANNI ALBERTI
Anno accademico2019/20
CdSMATEMATICA
Codice547AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
ANALISI MATEMATICA 3MAT/05LEZIONI60
GIOVANNI ALBERTI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Alla fine del corso lo studente dovrebbe avere una buona conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: teoria dell’integrazione secondo Lebesgue, spazi L^p e spazi di Hilbert, serie e trasformata di Fourier (in L^1 e L^2) e relative applicazioni alla risoluzione delle equazioni alle derivate paziali fondamentali, superfici regolari di dimensione d in R^n e formula dell’area, funzioni armoniche.

Knowledge

At the end of this course students should have a good theoretical and operational knowledge of the following topics: integration theory (in the sense of Lebesgue), L^p and Hilbert spaces, Fourier series and Fourier transform (in L^1 and L^2) and their applications to basic partial differential equations, d-dimensional surfaces in R^n and area formula, harmonic functions.

 

Modalità di verifica delle conoscenze

Esame alla fine del corso, scritto e orale.

Assessment criteria of knowledge

Exam at the end of the course, consisting of a written test and an oral examination.

Capacità

Al termine del corso lo studente dovrà in grado di risolvere problemi relativi allo studio delle serie e trasformate di Fourier, con applicazioni alle equazioni alle derivate parziali, e dovrà essere in grado di presentare in maniera rigorosa e logicamente corretta i risultati introdotti surante il corso. Inoltre lo studente sarà auspicabilmente in grado di formulare e risolvere semplici problemi di modellizzazione.

Skills

At the end of the course students should be able to solve problems related to Fourier series and Fourier transform and their applications to partial differential equations. They should also be able to present in a rigorous and logically correct manner the results and proofs explained in the lectures. Hopefully students should also be able to formulate and solve simple modeling problems.

Modalità di verifica delle capacità

Problemi proposti durante lo scritto della prova di esame finale.

Assessment criteria of skills

Problems in the written test in the final exam.

Comportamenti

Svluppare un approccio construttivo alle dimostrazioni e ai problemi di modellizzazione.

Behaviors

Develop an active approach to proofs and modelization problems.

Modalità di verifica dei comportamenti

Esame orale.

Assessment criteria of behaviors

Oral examination.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

È necessaria una buona conoscenza dei contenuti di base dei corsi di analisi e geometria dei primi due anni. Serviranno in particolare le nozioni fondamentali di algebra lineare, topologia in spazi metrici, derivate e integrali di funzioni in più variabili (formula di cambio di variabile negli integrali multipli e teorema di Fubini), convergenza uniforme e totale per successioni e serie di funzioni, teorema della divergenza, funzioni olomorfe e calcolo degli integrali con il metodo dei residui.

Prerequisites

A good knowledge of the basic contents of earlier analysis and geometry courses is mandatory. In particular, we will need the basic notions of linear algebra, topology in metric spaces, derivatives and integrals of functions of several variables (change of variable formula in multiple integrals and Fubini's theorem), convergence for sequences and series of functions, the divergence theorem, holomorphic functions and the residue integration method.

Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula (è raccomandata la frequenza). Verranno inoltre date liste di esercizi da risolvere a casa.

Teaching methods

Lectures and exercise classes. Exercise sheets (that students should solve on their own).

Programma (contenuti dell'insegnamento)
  • Teoria dell'integrazione secondo Lebesgue.
  • Spazi L^p e convoluzione.
  • Spazi di Hilbert.
  • Serie di Fourier, con applicazione alla risoluzione di alcune equazioni alle derivate parziali di tipo fondamentale e ad altri problemi.
  • Trasformata di Fourier.
  • Teoria dell'integrazione su superfici d-dimensionali in R^n.
  • Funzioni armoniche.
Syllabus
  • Integration theory (in the sense of Lebesgue).
  • L^p spaces and convolution.
  • Hilbert spaces.
  • Fourier series and its applications the solution of basic partial derivatives equations and to other problems.
  • Fourier transform.
  • Integration theory on d-dimensional surfaces in R^n.
  • Harmonic functions.
Bibliografia e materiale didattico

Il corso non segue alcun testo preciso e si raccomanda quindi la frequenza. Alcuni degli argomenti del corso sono coperti dai seguenti testi (si noti tuttavia che la presentazione proposta in questi testi differisce a volte significativamente da quella data a lezione, e alcuni argomenti non vengono affatto trattati):

  • R. Courant e F. John. Introduction to Calculus and Analysis. Volume 2. Interscience Publishers, John Wiley & Sons, 1974.
  • A.N. Kolmogorov e S.V. Fomin. Introductory real analysis. Dover Publications, New York, 1975. Traduzione italiana: Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale. Editori Riuniti, Roma, 2012.
  • T.W. Körner. Fourier analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
  • W. Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill 1974. Traduzione italiana: Analisi reale e complessa, Boringhieri, 1974.
Bibliography

The lectures will not follow a precise textbook. Some of the course topics are covered by the following textbooks (note however that the presentation proposed in these textbooks may significantly differs from the one given in the lectures, and some topics are not treated at all):

  • R. Courant and F. John. Introduction to Calculus and Analysis. Volume 2. Interscience Publishers, John Wiley & Sons, 1974.
  • A.N. Kolmogorov and S.V. Fomin. Introductory real analysis. Dover, New York, 1975.
  • T.W. Körner. Fourier analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
  • W. Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill 1974.
Modalità d'esame

L'esame è composto da una prova  scritta ed una prova orale.

La prova scritta consiste in vari esercizi da risolvere in 3 ore, senza usare libri di testo o appunti. Durante il corso è previsto lo svolgimento di due prove in itinere che in caso di risultato positivo sostituiscono la prova scritta del primo o del secondo appello.  

La prova orale verte principalmente sugli aspetti teorici del corso. Per l’ammissione alla prova orale è necessario aver superato la prova scritta. La prova orale va sostenuta nello stesso appello della prova scritta.

Assessment methods

The exam consists of a written test and an oral examination.

The written test lasts 3 hours, and consists of several exercises without using textbooks or notes.

The oral examination focuses mainly on theoretical aspects.

Altri riferimenti web

Pagina web del docente: http://pagine.dm.unipi.it/alberti/didattica/didattica.html

Additional web pages

Webpage of the teacher: http://pagine.dm.unipi.it/alberti/didattica/didattica.html

Ultimo aggiornamento 05/08/2019 16:26