Scheda programma d'esame
ISTITUZIONI DI GEOMETRIA
BRUNO MARTELLI
Anno accademico2019/20
CdSMATEMATICA
Codice138AA
CFU9
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
ISTITUZIONI DI GEOMETRIAMAT/03LEZIONI63
BRUNO MARTELLI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo scopo del corso è fornire agli studenti delle solide conoscenze riguardanti i più importanti aspetti della topologia e geometria differenziale, con un'attenzione particolare a quegli strumenti che hanno applicazioni in altre aree della matematica e in fisica teorica. In particolare, la/o studente che completa il percorso con successo acquisirà solide conoscenze sugli argomenti seguenti: - varietà lisce; - campi vettoriali, fibrati vettoriali e flussi; - geometria Riemanniana di base; - forme differenziali e coomologia di De Rham.

Knowledge

The aim of the course is to provide the students with a solid knowledge of the most important differential geometric tools, with an eye towards their use in all areas of Mathematics, as well as in the application of Mathematics to other fields. In particular, the student who successfully completes the course will acquire a solid knowledge of: - smooth manifolds; - vector bundles, vector fields and flows; - basic Riemannian geometry; - differential forms and de Rham cohomology.

Modalità di verifica delle conoscenze

L'esame è scritto ed orale. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati numerosi esercizi settimanali, che verranno corretti dal docente.

Assessment criteria of knowledge

The exam consists in a written and an oral part. Many home exercises will be assigned to the students who attend the lessons weekly, to help them following the lectures. 

Capacità

Capire e manipolare varietà lisce, campi e fibrati vettoriali, la coomologia di De Rham, le strutture riemanniane.

Skills

To understand and manipulate smooth manifolds, vector fields and bundles, De Rham cohomology, and some Riemannian geometry.

Modalità di verifica delle capacità

L'esame è scritto ed orale. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati numerosi esercizi settimanali, che verranno corretti dal docente.

Assessment criteria of skills

The exam consists in a written and an oral part. Many home exercises will be assigned to students attending the lessons weekly, to help them following the lectures. 

Comportamenti

La/o studente deve essere in grado di studiare in modo autonomo e risolvere autonomamente degli esercizi impegnativi.

Behaviors

The student must learn independently and solve hard exercises.

Modalità di verifica dei comportamenti

L'esame è scritto ed orale. Per aiutare lo studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati numerosi esercizi settimanali, che verranno corretti dal docente.

Assessment criteria of behaviors

The exam consists in a written and an oral part. Many home exercises will be assigned to attending students weekly, to help them following the lectures. 

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

I primi due anni di matematica. E' consigliato aver seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale.

Prerequisites

The first two years of mathematics. It would be advisable to have already followed Geometria e Topologia Differenziale.

Indicazioni metodologiche

Le lezioni saranno frontali.
Verranno consegnati agli studenti frequentanti degli esercizi alla fine di ogni settimana. Gli esercizi saranno quindi corretti dal docente.

Teaching methods

Lessons will be face to face.
Home exercises will be assigned to attending students every week. These will be revised by the teacher.

Programma (contenuti dell'insegnamento)
  • Varieta' differenziabili. Applicazioni differenziabili. Partizioni dell'unita'. Spazio tangente. Differenziale. Immersioni, embedding e sottovarieta'. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilita'. Rivestimento doppio di una varieta' non orientabile. Omotopia, isotopia e isotopia ambiente. Esistenza e unicità dell'intorno tubolare. Immersione di Whitney. Foliazioni. Trasversalità. Gruppi di Lie.
  • Forme differenziali. Differenziale esterno. Teorema di Stokes. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Dualita' di Poincare'. Teorema di Kunneth. 
  • Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Sezioni parallele e trasporto parallelo. Metriche Riemanniane. Isometrie e isometrie locali. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali e uniformemente normali. Lunghezza di una curva. Distanza Riemanniana. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci.
Syllabus

The course covers the basics of differential geometry: smooth manifolds, smooth maps, partitions of unity, tangent vectors, vector bundles, tangent and cotangent bundles, tensor bundles, sections of vector bundles, vector fields and differential forms, the flow of a vector field, Lie brackets, orientation, tubular neighbourhoods, Whitney's immersion theorems, foliations, transversality, Lie groups.

The second part of the course covers differential forms and De Rham cohomology: integration and external differentiation of differential forms, orientation, Stokes theorem, Mayer-Vietoris sequence, Poincare' lemma, cohomology of euclidean spaces and spheres, Poincare' duality, Kunneth theorem.

The last part covers the basics of Riemannian geometry: connections, covariant derivative, parallel transport, Riemannian metrics, isometries, Levi-Civita connection, geodesics, exponential maps, Riemannian distance, minimizing properties of geodesics, the Riemann and Ricci tensors, sectional curvature.

Bibliografia e materiale didattico

Una bozza di libro liberamente fruibile dalla pagina web del corso coprirà tutti gli argomenti.

Bibliography

A book project freely available from the course web page will cover all the topics mentioned during the lectures.

Indicazioni per non frequentanti

Studiare tutto il programma sulle note del corso guardando il registro delle lezioni. Ci sarà uno scritto ed un orale.

Non-attending students info

Study the whole program on the curse notes, looking at the website. The exam will be written and oral.

Modalità d'esame

Esame scritto ed orale. Saranno consegnati settimanalmente degli esercizi da risolvere a casa.

Assessment methods

Written and oral exams. Some home exercises will be assigned on a weely base.

Ultimo aggiornamento 04/08/2019 15:54