Scheda programma d'esame
ARITMETICA
GIOVANNI GAIFFI
Anno accademico2020/21
CdSMATEMATICA
Codice015AA
CFU9
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
ARITMETICAMAT/02LEZIONI63
GIOVANNI GAIFFI unimap
VALERIO MELANI unimap
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze

Il programma del corso.

Modalità di verifica delle conoscenze

Esame scritto e orale.

Capacità

Risolvere gli esercizi intermedi e quelli di esame.

Modalità di verifica delle capacità

Correzione degli esercizi svolti.

Comportamenti

Non disturbare in classe.

Modalità di verifica dei comportamenti

Nessuna.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Nessuno.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Propriet\`a dei numeri naturali. Assioma di buon ordinamento e
principio di induzione.

Elementi di calcolo combinatorio: permutazioni, combinazioni,
principio di inclusione-esclusione.

Numeri interi: divisione euclidea, divisibilit\`a, massimo comune
divisore e minimo comune multiplo, algoritmo di Euclide. Numeri
primi, teorema di fattorizzazione unica. Piccolo teorema di Fermat
e funzione di Eulero.

Congruenze. Teorema cinese del resto. Equazioni e sistemi di
congruenze, equazioni diofantee di primo grado. Relazioni di
equivalenza e insiemi quoziente. Struttura delle classi resto.

Gruppi e sottogruppi, gruppi abeliani e gruppi ciclici. Ordine di
un elemento di un gruppo. Sottogruppi dei gruppi ciclici.
Omomorfismi di gruppi. Classi laterali, sottogruppi normali e
gruppo quoziente. Teorema di omomorfismo. Corrispomndenza fra
i sottogruppi di un gruppo e quelli di un suo quoziente.

Congruenze di secondo grado e congruenze esponenziali.

Numeri complessi: operazioni fondamentali e calcolo delle radici
ennesime.

Polinomi a coefficienti razionali, reali e complessi, e nei campi
con un numero primo di elementi. Proprieta' del grado e divisione
euclidea. Teorema di Ruffini. Polinomi irriducibili e
fattorizzazione unica. Fattorizzazione di polinomi. Criterio di
Eisentein. Radici multiple dei polinomi e criterio della derivata.

Anelli euclidei, anello degli interi di Gauss. Anelli PID.

Numeri algebrici e numeri trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico su un campo. Estensioni algebriche semplici.
Torri di estensioni, formula dei gradi. Campo di spezzamento di un
polinomio. Campi finiti. Campo di spezzamento del polinomio $X^n-1$
sui campi finiti.

Bibliografia e materiale didattico

TESTI DI RIFERIMENTO :

Dispense del corso.

I.N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti

P. Di Martino (con la revisione di R. Dvornicich), Algebra,
Edizioni Plus, Universit\`a di Pisa

R.Chirivi', I. Del Corso, R.Dvornicich - Esercizi scelti di Algebra (vol 1)  - Springer Italia.

Indicazioni per non frequentanti

Cercare gli esercizi sulla pagina web.

Modalità d'esame

Esame scritto ed orale.

Ultimo aggiornamento 11/08/2020 07:08