Scheda programma d'esame
MATEMATICHE ELEMENTARI DA UN PUNTO DI VISTA SUPERIORE: ARITMETICA
ALBERTO COGLIATI
Anno accademico2020/21
CdSMATEMATICA
Codice065AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
MATEMATICHE ELEMENTARI DA UN PUNTO DI VISTA SUPERIORE: ARITMETICAMAT/04LEZIONI48
ALBERTO COGLIATI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente potrà acquisire conoscenze in merito alla struttura assiomatica dei principali insiemi numerici (numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi, quaternioni) e alla teoria elementare dei numeri.

Knowledge

Students will get a good knowledge of the axiomatic structure of numerical sets (natural numbers, integers, rational numbers, real numbers, complex numbers and quaternions) as well as of some elementary notions of number theory.

Modalità di verifica delle conoscenze

Le conoscenze acquisite saranno valutate attraverso un esame orale.

Assessment criteria of knowledge

Notions acquired will be tested through oral exam.

Capacità

Lo studente sarà messo nelle condizioni di comprendere la struttura assiomatica degli insiemi numerici prima menzionati e di conoscere alcuni rudimenti della teoria dei numeri.

Skills

Students will be in the position to fully understand and appreciate both the axiomatics of the above mentioned numerical structures and some elementary results in number theory.

Modalità di verifica delle capacità

Risoluzione di esercizi.

Assessment criteria of skills

Solutions of exercises.

Comportamenti

Lo studente acquisirà una buona sensibilità per questioni fondazionali dell'aritmetica elementare.

Behaviors

Students will acquire a good knowledge and understanding of the axiomatics of elementary arithmetics.

Modalità di verifica dei comportamenti

Valutazione attraverso esame orale.

Assessment criteria of behaviors

Through oral examination.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Conoscenze elementari di teoria degli insiemi e di algebra.

Prerequisites

Basic knowledge in elementary set theory and elementary algebra.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

 

La struttura assiomatica dei numeri naturali. Gli assiomi di Peano-Dedekind. Definizione per ricorsione. Somma e prodotto. Deduzione delle principali proprietà aritmetiche di N. Il principio del buon ordinamento. Letture dall'opera di Dedekind "Essenza e significato dei numeri".

Costruzioni dei numeri razionali. 

Costruzione dei numeri reali. Vari approcci. La costruzione di Dedekind e la costruzione di Cantor. Lettura dal pamphlet di Dedekind "Continuità e numeri irrazionali". Numeri reali e retta euclidea. Excursus storico sulle grandezze incommensurabili. Un confronto tra il V libro di Euclide e la costruzione di Dedekind.

Argomenti scelti di teoria elementare dei numeri: esistenza di numeri trascendenti (teorema di Liouville), trascendenza di "e" e di "pi greco".

Interi di Gauss e applicazioni alla teoria dei numeri.

Frazioni continue. Irrazionalità quadratiche e teorema di Galois.

La costruzione di Hamilton dei numeri complessi.

Il corpo dei quaternioni, gli interi d Hurwitz e il teorema dei quattro quadrati.  

 

Syllabus

The axiomatic structure of natural numbers. The axioms of Peano-Dedekind. Definition by recursion. Sum and product. Deduction of some arithmetic properties of N. The principle of good order. Readings from Dedekind's work "Essence and meaning of numbers".

Constructions of rational numbers.

Construction of real numbers. Various approaches. The construction of Dedekind and the construction of Cantor. Reading from Dedekind's pamphlet "Continuity and irrational numbers". Real numbers and the Euclidean line. Historical excursus on incommensurable quantities. A comparison between Euclid's V book and Dedekind's construction.

Selected topics from elementary number theory: existence of transcendent numbers (Liouville's theorem), transcendence of "e" and "pi".

Gauss integers and their applications to number theory.

Continued fractions. Quadratic irrationalities and Galois theorem.

Hamilton's construction of complex numbers.

The system of quaternions, the integers of Hurwitz and the four-square theorem.

Bibliografia e materiale didattico

S. Feferman, The number systems, AMS, 1963. Seconda edizione, 2005.

J. Stillwell, Elements of number theory, Springer, 2010.

Appunti redatti a cura del docente.

Bibliography

S. Feferman, The number systems, AMS, 1963. Seconda edizione, 2005.

J. Stillwell, Elements of number theory, Springer, 2010.

Some notes written by the lecturer.

Modalità d'esame

Esame orale che potrà vertere sull'intero programma o su un argomento a scelta concordato con il docente.

Assessment methods

Oral exam either on the entire program or on a topic of your choice agreed with the teacher.

Ultimo aggiornamento 28/08/2020 13:16