Scheda programma d'esame
GEOMETRIA 2
ROBERTO FRIGERIO
Anno accademico2020/21
CdSMATEMATICA
Codice511AA
CFU12
PeriodoAnnuale
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
GEOMETRIA 2 AMAT/03LEZIONI120
ROBERTO FRIGERIO unimap
ANDREA MAFFEI unimap
MATTIA TALPO unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente che completa il corso con successo sarà capace di padroneggiare spazi proiettivi e coordinate omogenee, avrà una buona conoscenza della topologia generale. Sarà capace di calcolare il gruppo fondamentale di spazi topologici non troppo complicati, e conoscerà le relazioni tra gruppo fondamentale e teoria dei rivestimenti. Infine otterrà una conoscenza di base della teoria delle funzioni olomorfe in una variabile complessa.

 

 

Knowledge

The student who successfully completes the course will have the ability to manage projective spaces and homogeneous coordinates and will get a basic knowledge on general topology. Also he/she will be able to calculate the fundamental group of (not too complicated) topological spaces, and will know the relatioship between the fundamental group and covering theory. The student will finally get a basic knowledge of holomorphic functions of one complex variable.

Modalità di verifica delle conoscenze

 

  • Esame finale scritto e orale.
  • 2 prove in itinere.
Assessment criteria of knowledge

 

  • Final oral exam
  • Final written exam
  • Periodic written tests
Capacità

 Si chiede capacità di risolvere alcuni problemi riguardanti la teoria svolta, e di discutere i principali contenuti del corso usando una terminologia appropriata.

 

Skills

The student will be assessed on his/her demonstrated ability to discuss the main course contents using the appropriate terminology.

 

Modalità di verifica delle capacità

 

  • Esame finale scritto e orale.
  • 2 prove in itinere.

Le regole d'esame specifiche relative all'a.a. passato, 2019/20, sono disponibili qui:

http://people.dm.unipi.it/frigerio/files/regoleesame_geometria2.pdf

Le regole specifiche per l'a.a. 2019/20 sono in corso di definizione, anche in relazione all'emergenza sanitaria in corso.

Assessment criteria of skills

 

  • Final oral exam
  • Final written exam
  • Periodic written tests

You may find detailed instructions for the academic year 2019/20 at the following webpage:

http://people.dm.unipi.it/frigerio/files/regoleesame_geometria2.pdf 

Detailed instructions for the academic year 2020/21 will be defined later, after having considered the effects of the current emergency due to the pandemic.

Comportamenti

Lo studente dovrà essere in grado di discutere di matematica sia con i propri compagni sia con il docente in maniera rigorosa ed espressiva.

Behaviors

The student must be able to discuss mathematical topics both with his/her mates and with the teacher using a rigorous mathematical language. 

Modalità di verifica dei comportamenti

La capacità di discutere di matematica in maniera rigorosa ed espressiva sarà verificata durante l'esame orale.

Assessment criteria of behaviors

During the oral examination, the committee evaluates the ability of the student in discussing mathematical topics with his/her teacher.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Spazi vettoriali, applicazioni lineari, applicazioni diagonalizzabili e triangolabili, prodotti scalari. Coniche a quadriche affini. Insiemi e relazioni di equivalenza. Teoria della derivazione e dell'integrazione in una variabile reale. 

Prerequisites

Vector spaces, linear maps, eigenvectors, scalar products. Affine conics and quadrics. Sets and equivalence relations. Derivatives and integrals for real functions in one real variable.

Indicazioni metodologiche

 Lezioni ed esercitazioni frontali.

 Attività utili per imparare: frequenza alle lezioni, studio individuale, lavoro di gruppo.

Teaching methods

Delivery: face to face

Learning activities:

  • attending lectures
  • individual study
  • group work

Attendance: Advised

Teaching methods:

  • Lectures
  • Task-based learning/problem-based learning/inquiry-based learning
Programma (contenuti dell'insegnamento)

Geometria proettiva. Spazi proiettivi. Sottospazi, trasformazioni proiettive, proiettività. Carte affini. Il birapporto.

Topologia generale. Spazi topologici e applicazioni continue.  Sottospazi, prodotti, quozienti. Assiomi di separazione. Assiomi di numerabilità. Compattezza, connessione, connessione per archi. Spazi di Baire. 

Un primo approccio alla topologia algebrica: omotopia, spazi contrattili, deformazioni. Il gruppo fondamentale. Teorema di Seifert-Van Kampen. Teoria dei rivestimenti. Il rivestimento universale. Rivestimenti regolari. Monodromia. Azione del gruppo fondamentale sul rivestimento universale.

Funzioni olomorfe di una variabile complessa: definizioni, esempi. 1-Forme differenziali a valori complessi. Teorema di Cauchy. Teorema dei residui. Lemma di Schwarz. Principio del massimo.

 

Syllabus

Projective geometry. Projective spaces. Subspaces, projective transformations, projectivities. Affine charts. Cross-ratio.

General topology. Topological spaces and continuous maps. Subspaces, products, quotient spaces. Separation axioms. Countability axioms. Compactness, connectedness, path-connectedness. Baire spaces. 

Algebraic topology. Homotopy, contractible spaces, retracts. The fundamental group. Seifert-Van Kampen Theorem. Covering theory. The universal covering. Regular coverings. Monodromy. The action of the fundamental group on the universal covering.

Holomorphic functions of one complex variable: definition and examples. Differential 1-forms with complex values. Cauchy Theorem. The residue Theorem. Schwarz Lemma. The maximum principle.

Bibliografia e materiale didattico

TOPOLOGIA GENERALE, GRUPPO FONDAMENTALE E RIVESTIMENTI:

M. Manetti, "Topologia". 

Esercizi di topologia generale si possono trovare anche in testi dedicati all'argomento, come:

Checcucci, Vesentini, Tognoli, "Lezioni di Topologia Generale", o

Dugundji, "Topology", disponibile online qui: https://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/carter/Dugundji.pdf

Esercizi su varie parti del corso si trovano anche nel libro

De Fabritiis, Petronio: "Esercizi svolti e complementi di topologia e geometria". 

VARIABILE COMPLESSA:

H. Cartan, "Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables".

GEOMETRIA PROIETTIVA:

 E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, "Geometria Proiettiva - Richiami di teoria ed esercizi svolti".

 

Bibliography

GENERAL TOPOLOGY, FUNDAMENTAL GROUP AND COVERINGS:

M. Manetti, "Topology". 

Exercises on general topology may be found also in books that are completely devoted to the topic, i.e. in

Checcucci, Vesentini, Tognoli, "Lezioni di Topologia Generale", or

Dugundji, "Topology", which is available online here: https://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/carter/Dugundji.pdf

Exercises on many topics covered by the course may be found here:

De Fabritiis, Petronio: "Esercizi svolti e complementi di topologia e geometria". 

HOLOMORPHIC FUNCTIONS:

H. Cartan, "Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables".

PROJECTIVE GEOMETRY:

 E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, "Projective Geometry - Solved problems and Theory review".

Modalità d'esame

Prova scritta

Prova orale

Prove in itinere 

Assessment methods

Written examination.

Oral examination.

Partial written examinations.

Ultimo aggiornamento 30/07/2020 17:41