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Scheda programma d'esame
EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI
VLADIMIR SIMEONOV GUEORGUIEV
Anno accademico2020/21
CdSMATEMATICA
Codice545AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettore/iTipoOreDocente/i
EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALIMAT/05LEZIONI48
VLADIMIR SIMEONOV GUEORGUIEV unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente che superera' l'esame sara' in grado di manipolare con tecniche elementari

(ma efficienti) le equazioni alle derivate parziali fondamentali della fisica-matematica.

 
Knowledge

The student who successfully completes the course will be able to manipulate PDEs by using elementary (but efficient) techniques.
Modalità di verifica delle conoscenze

Esame scritto ed orale.
Assessment criteria of knowledge

Written and oral exam.
Capacità

Lo studente sara' capace di manipolare equazioni a derivate parziali usando tecniche elementari.

In particolare:

metodo delle caratteristiche, problemi al bordo e problema di Cauchy, principi di massimo in varie forme, convergenza al dato inziale, teoria dell'interpolazione, complementi sulla misura di Lebesgue e sugli spazi funzionali classici.

 

 

 
Skills

The student will be able to manipulate partial differerential equation by using elementary techniques. In particular:

 characteristic methods for first order PDEs, boundary and Cauchy problems, maximum principles in several forms,  convergence to the initial datum, interpolaton theory, further properties on Lebesgue measure and classical functional spaces.

Basic tools in real analysis as weak L^p spaces, maximal functions, convergence almost everywhere,Lebesgue derivation theorem and a.e. convergence to initial datum for the heat flow, Hardy-Littlewood-Sobolev inequality.

Uniqueness criteria for the linear heat equation and finite propagtion speed for the wave equation.
Modalità di verifica delle capacità

Esame scritto ed orale.
Assessment criteria of skills

Written and oral exam.
Comportamenti

Fornire conoscenze di base utili nel trattare equazioni alle derivate parziali usando strumenti elementari. 
Behaviors

To provide basic knowledge in partial differential equations by using elementary tools.
Modalità di verifica dei comportamenti

Esame scritto ed orale.
Assessment criteria of behaviors

Written and oral exam.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Funzioni di piu' variabili, teoria delle equazioni differenziali ordinarie, spazi L^p e proprieta'di base della misura di Lebesgue.
Prerequisites

Theory of multivariable functions, ordinary differerential equations, L^p spaces 

and basic knowldge of Lebesgue measure.
Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali.
Teaching methods

Delivery: face to face
Programma (contenuti dell'insegnamento)

Equazioni del prim'ordine e metodo delle caratteristiche. Equazioni di Hamilton – Jacobi. Creazione di shock.

Equazione di Laplace: principio del massimo, soluzione fondamentale in R^n. Applicazioni:Stime a priori, stime L^p-L^q.

Equazione di  Helmholz. Il risolvente del operatore di Laplace

Funzioni armoniche. Teorema di Liouville.

Problema di Dirichlet in dominio limitato.  Funzione di Green. Idea del metodo di Peron.

Equazione del calore, convergenza al dato iniziale e introduzione al concetto di funzione massimale. Criteri di unicita'della soluzione ed esempi di non unicita'.

Equazione delle onde e propeirta'delle soluzioni (velocita'finita di propagazione, comprtamento per grandi tempi etc)

Altri equazioni della fisica matematica: Maxwell, Schrodinger, Klein – Gordon, Dirac, Navier – Stokes.
Syllabus
First-order equations and method of characteristics. Hamilton - Jacobi equations. Shock creation. Laplace equation: maximum principle, fundamental solution in R ^ n. Applications: A priori estimates, L ^ p-L ^ q estimates. Helmholtz equation. The resolvent of the Laplace operator Harmonic functions. Liouville's theorem. Dirichlet problem in bounded domain. Green's function. Idea of the Peron method. Heat Equation, convergence to the initial data and introduction to the concept of maximal function. Uniqueness criteria of the solution and examples of non-uniqueness. Wave equation and properties of the solutions (finite speed of propagation, behaviour for long times, etc.) Other equations of mathematical physics: Maxwell, Schrodinger, Klein - Gordon, Dirac, Navier - Stokes.
Bibliografia e materiale didattico

J. Rauch, An introduction to PDEs

L. Evans, Partial differential equations

F. John, Partial differential equations

 

Appunti forniti dal docente.
Bibliography

J. Rauch, An introduction to PDEs

L. Evans, Partial differential equations

F. John, Partial differential equations

 

Notes provided by the teacher.
Indicazioni per non frequentanti

Studiare i libri di testo consigliati e gli appunti del docente.

Sara'molto importante testare le proprie capacita'risolvendo esercizi che si possno trovare sia sui libri di testo sia saranno dati nel corso delle lezioni e sulle dispense del corso.
Non-attending students info

To study suggested textbooks as well as the notes of the course provided by the teacher.

 

It will be also very important to solve exercises proposed on the textbook as well as during the lectures and on the notes of the course.
Modalità d'esame

Esame scritto ed orale.
Ultimo aggiornamento 14/09/2020 23:12