Analisi superiore
Programma a.a. 2020-2021

I parte: Analisi non lineare.

1 Calcolo differenziale negli spazi di Banach
Derivata di Gateaux e di Frechet. Esempi di derivate di fuzionali integrali, equazioni di Eulero-Lagrange. Prime applicazioni. Linearizzazione di un problema, teorema delle funzioni implicite.

2 Spazi funzionali
Derivata debole, spazio delle distribuzioni, spazi di Sobolev, operatori non lineari, duali degli spazi di Sobolev, misure come distribuzioni, operatore di Nemytskii.

3 Funzionali convessi ed operatori monotoni
Definizioni, teorema di invertibilità di operatori monotoni, applicazioni ad equazioni ellittiche.

4 Calcolo differenziale su varietà Hilberiane
Definizione di varietà Hilbertiana; varietà dei lacci modellata sullo spazio H1, esistenza di geodetiche, soluzioni periodiche di sistemi lagrangiani.

5 Teorema del passo montano
Dimostrazione. Applicazioni ad alcuni problemi ellittici.

II parte: Analisi non Standard.

1 - Campi non archimedei
Campo dei quozienti, campo di Levi-Civita, teorema della parte standard.

2 - Lambda-limite e campi iperreali
Limite di una rete, limiti rispetto a un ultrafiltro, campi iperreali, Lambda-limite di insiemi

3 - Analisi iperfinita
Insiemi iperfiniti, applicazioni.

4 - Ultrafunzioni
Ultrafunzioni e soluzioni generalizzate; cofronto con le dstribuzioni, applicazioni ad equazioni differenziali ed al calcolo delle variazioni.