Scheda programma d'esame
GEOMETRIA ALGEBRICA C
MARCO FRANCIOSI
Anno accademico2020/21
CdSMATEMATICA
Codice117AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
GEOMETRIA ALGEBRICA C/aMAT/03LEZIONI42
MARCO FRANCIOSI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Al termine del corso lo studente avrà acquisito conoscenze in merito agli strumenti e alle metodologie riguardanti Curve algebriche complesse e Superfici di Riemann

Knowledge

The aim of the course is to provide an introduction to the theory of compact Riemann surfaces and algebraic curves, a very beautiful classical topic. The student that has successfully completed it will be able to move on and read autonomously the scientific literature on the subject and will have a good starting point and motivation for learning algebraic geometry.

Modalità di verifica delle conoscenze

 Durante la prova orale, lo studente deve mostrare la propria conoscenza degli argomenti del corso esponendo correttamente le definizioni, i teoremi e le dimostrazioni, evidenziando comprensione degli argomenti.

I metodi di verifica sono :

  • seminario
  • esame finale orale
Assessment criteria of knowledge

During the oral exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the course material and be able to discuss the reading matter thoughtfully and with propriety of expression.

Methods:

  • Final oral exam
Capacità

Lo studente sara' capace di trattare in autonomia argomenti inrenti Superfici di Riemann e Curve algebriche complesse

Skills

The student will be able to treat  argument concerening Riemannn surfaces and complex algebraic curves 

Modalità di verifica delle capacità

discussione in classe

Assessment criteria of skills

public discussion

Comportamenti

Lo studente sarà pronto a studiare geometria algebrica avanzata, sviluppando capacità di studio individuale che potranno in un futuro essere i primi elementi per un'introduzione ad alcuni argomenti di ricerca contemporanea

 

Behaviors

The student will be trained to study advanced algebraic geometry.  Moreover the student will develop individual skills that may  introduce him to advanced research topics 

Modalità di verifica dei comportamenti

Lo studente verificherà la propria capacità di comprensione degli argomenti affrontati  settimanalmente confrontandosi con i colleghi e con il docente.

Assessment criteria of behaviors

The student will verify his/her ability to perform the weekly discussions by comparing  with the colleagues and with the reader.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

analisi complessa

topologia algebrica  elementare

geometria algebrica elementare

Prerequisites

Complex analysis

elementary algebraic geometry

elementary  algebraic topology 

Indicazioni metodologiche

lezioni frontali

studio individuale

discussioni di gruppo in aula 

 

Teaching methods

Delivery: face to face

Learning activities:

  • attending lectures
  • individual study
  • participation in discussions

Attendance: Advised

Teaching methods:

  • Lectures
Programma (contenuti dell'insegnamento)

Richiami sulle curve algebriche piane.

Superci di Riemann: denizione ed esempi. Funzioni olomorfe e meromorfe,

morfismi tra superci di Riemann.

Forme differenziali e integrazione su una supercie di Riemann. Teorema dei

residui.

Divisori su superfici di Riemann compatte; divisore associato a una funzione

meromorfa, equivalenza lineare, divisori canonici. Lo spazio L(D) associato

a un divisore D. Divisori e  fibrati lineari. Sistemi lineari e mappe a valori

negli spazi proiettivi.

Teorema di Riemann-Roch, Dualita di Serre e loro applicazioni.

Applicazioni pluricanoniche. Curve iperellittiche. Curve di genere basso,

stima di Castelnuovo sul genere di una curva proiettiva.

Denizione della varieta Jacobiana e applicazione di Abel-Jacobi.

Syllabus

Definition and examples of Riemann surfaces. Holomorphic and meromorphic functions of Riemann surfaces. Group actions and finite Riemann surfaces; Hurwitz bound for the number of automorphisms of a curve of genus>1. Differential forms and integration on a Riemann surface. Poincar\'e and Dolbeault lemma. The residue theorem. Divisors on compact Riemann surfaces, principal divisors, linear equivalence, canonical divisors. The space L(D) associated with a divisor D. Linear systems and maps to projective spaces. The Riemann-Roch theorem. Serre duality. Applications of the RR theorem: embedding compact Riemann surfaces in projective space, curves of low genus, pluricanonical maps. Projective curves: Castelnuovo's bound on the genus of a projective curve, general position lemma, flexes and bitangents, Weierstrass points. Definition of the Jacobian variety, Abel-Jacobi map. The theorem of Abel and Jacobi.

Bibliografia e materiale didattico

R.Miranda: Algebraic curves and Riemann surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 5, American Mathematical Society.

 F.Kirwan: Complex algebraic curves, London Mathematical Society, Student texts 23.

 E.Arbarello, M.Cornalba, P.A Griffiths, J.Harris: Geometry of algebraic curves, Vol. I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 267. Springer-Verlag, New York, 1985.

Bibliography

The course will follow the exposition of: R.Miranda: Algebraic curves and Riemann surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 5, American Mathematical Society. Another nice introductory work on the subject is: F.Kirwan: Complex algebraic curves, London Mathematical Society, Student texts 23. Finally, the main reference work for the theory of algebraic curves is: E.Arbarello, M.Cornalba, P.A Griffiths, J.Harris: Geometry of algebraic curves, Vol. I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 267. Springer-Verlag, New York, 1985.

Indicazioni per non frequentanti

Consultare le informazioni sul sito del corso.

Non-attending students info

Please check all the information on the website

Modalità d'esame

L'esame consiste in:

  • seminario su un argomento dato
  • prova orale
Assessment methods

The exam consists of:

  • seminar on a given argument 
  • oral exam
Ultimo aggiornamento 30/07/2020 12:07