Scheda programma d'esame
FORME MODULARI
ANDREA MAFFEI
Anno accademico2020/21
CdSMATEMATICA
Codice113AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
FORME MODULARI/aMAT/02LEZIONI42
DAVIDE LOMBARDO unimap
ANDREA MAFFEI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Il corso si prefigge di fornire le basi della teoria delle forme modulari.

Knowledge

By the end of the course, students will have acquired knowledge about the basic theory of modular forms.

Modalità di verifica delle conoscenze

La verifica dell'acquisizione delle conoscenze avverrà attraverso l'esame finale e la discussione degli esercizi proposti durante l'anno.

Assessment criteria of knowledge

Progress will be assessed through the final exam, which can include a discussion of the exercises set during the course.

Capacità

A fine corso lo studente sarà in grado di risolvere esercizi riguardanti le forme modulari e applicare la teoria delle forme modulari alla soluzione di alcuni problemi di teoria dei numeri.

Skills

By the end of the course, students will know how to solve problems involving modular forms and will be able to apply the theory they learned to questions in number theory.

Modalità di verifica delle capacità

Saranno forniti degli esercizi durante l'anno dei quali verrà discussa in classe la soluzione. 

Assessment criteria of skills

Problem sets will be made available throughout the course. Solutions to selected problems will be discussed in class.

Comportamenti

Non ci si aspetta che la frequentazione del corso conduca a particolari comportamenti.

Behaviors

The course is not expected to lead to any new behaviours.

Modalità di verifica dei comportamenti

I docenti non intendono verificare questo aspetto. 

Assessment criteria of behaviors

Behaviours will not be assessed.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Elementi di teoria dei gruppi, funzioni olomorfe. E` di aiuto la conoscenza della teoria delle superfici di Riemann.

Prerequisites

Basic group theory, holomorphic functions. Some familiarity with the theory of Riemann surfaces could be helpful.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

* Il gruppo modulare SL_2(Z). Forme modulari classiche, espansioni di Fourier. Peso di una forma modulare. Esempi: serie di Eisenstein, la forma modulare discriminante. Le forme modulari di peso arbitrario formano un'algebra polinomiale nelle variabili E_4, E_6.
* Esempi classici: funzioni theta di reticoli. Rappresentazione di interi come somme di quadrati.
* Generalizzazione ad altri sottogruppi di congruenza ed interpretazione geometrica.
* Operatori di Hecke, relazioni di ricorrenza. Proprietà della funzione tau di Ramanujan. Prodotto scalare di Petersson. Autovettori simultanei degli operatori di Hecke.
* Funzione L di una forma modulare, equazione funzionale nel caso cuspidale e prodotto di Eulero nel caso di autovettore simultaneo per gli operatori di Hecke.
* Sviluppi moderni.

Syllabus

* The modular group SL_2(Z). Classical modular forms, Fourier expansions. Weight of a modular form. Examples: Eisenstein series, the discriminant. Modular forms of arbitrary weight form a polynomial algebra in the variables E_4, E_6
* Classical examples: theta series associated with plane lattices. Representations of integers as sums of squares.
* Generalisation to congruence subgroups of SL_2(Z). Geometric interpretation.
* Hecke operators, recurrence relations. Properties of Ramanujan's tau function. The Petersson inner product. Simultaneous eigenvectors for the Hecke operators ("eigenforms").
* L-functions attached to modular forms. Functional equation in the cuspidal case. Euler product decomposition of the L-function attached to an eigenform.
* Modern developments.

Bibliografia e materiale didattico

Fred Diamond, Jerry Shurman, A First Course in Modular Forms

Daniel Bump, Automorphic forms and representations

Bibliography

Fred Diamond, Jerry Shurman, A First Course in Modular Forms

Daniel Bump, Automorphic forms and representations

Modalità d'esame

L'esame consiste in un colloquio tra il candidato e i docenti. Durante la prova orale potrà essere richiesto al candidato di risolvere anche esercizi.

Assessment methods

The exam consists of an interview between the candidate and the lecturers. During the oral test, the candidate could be requested to also solve some exercises.

Ultimo aggiornamento 15/09/2020 21:07