Scheda programma d'esame
TEORIA DEI NODI A
PAOLO LISCA
Anno accademico2020/21
CdSMATEMATICA
Codice746AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
TEORIA DEI NODI AMAT/03LEZIONI42
PAOLO LISCA unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni teoriche di base della teoria dei nodi classica. 

Knowledge

By the end of the course students will have acquired the basic theoretical notions of classical knot theory. 

Modalità di verifica delle conoscenze

L'acquisizione delle conoscenze sarà verificata tramite domande dirette poste durante un esame orale. 

Assessment criteria of knowledge

Knowledge acquisition will be assessed using direct questions during an oral exam. 

Capacità

Al termine del corso lo studente saprà usare i diagrammi per calcolare gli invarianti più comuni. 

Skills

By the end of the course students will be able to use diagrams to compute the most common invariants. 

 

 

Modalità di verifica delle capacità

L'acquisizione delle capacità sarà verificata con opportune domande poste durante un esame orale. 

Assessment criteria of skills

Skills acquisition will be assessed using appropriate questions during an oral exam. 

Comportamenti

Al termine del corso lo studente saprà affrontare e risolvere semplici problemi di teoria dei nodi. 

Behaviors

By the end of the course students will be able to tackle and solve simple problems in knot theory. 

Modalità di verifica dei comportamenti

L'acquisizione delle competenze sarà verificata chiedendo allo studente di risolvere semplici problemi durante un esame orale.

Assessment criteria of behaviors

Expertise acquisition will be assessed asking the student to solve simple problems during an oral exam. 

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Elementi di topologia algebrica (gruppo fondamentale e rivestimenti, omologia). Classificazione delle superfici.  Algebra dei polinomi.

 

Prerequisites

Elements of algebraic topology (fundamental group, coverings, homology). Classification of surfaces.  Algebra of polynomials.

Corequisiti

Nessuno

Co-requisites

None

Prerequisiti per studi successivi

Nessuno

Prerequisites for further study

None

Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali oppure a distanza, a seconda della situazione Covid.

Teaching methods

Face-to-face or online lectures, depending on the Covid situation.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Nodi lisci, lineari a tratti e selvaggi. Equivalenza di link. Diagrammi. Teorema di Reidemeister, primi invarianti di nodi e link. Crossing number, unknotting number. Link alternanti, torici, pretzel e razionali. Nodi satellite. Nodi chirali e invertibili. Numeri di allacciamento. Superfici e forme di Seifert. Genere tridimensionale. Polinomio di Alexander, determinante, segnature di Tristram-Levine. Decomposizione in primi. Trecce e teorema di Alexander. Polinomio di Alexander-Conway, bracket di Kauffman, polinomio di Jones.  

A discrezione del docente e tempo permettendo, verranno poi trattati alcuni dei seguenti argomenti: 

Gruppo fondamentale. Presentazione di Wirtinger. Colorazioni. Nodi somme simmetriche, ribbon e slice. Genere quadridimensionale. Congettura slice-ribbon. Gruppi di concordanza. Rivestimenti ciclici, ramificati e non. Ideali e polinomi di Alexander. Calcolo di Fox. Gruppi delle trecce. Teorema di Markov. 

Syllabus

Smooth, PL and wild knots. Link equivalence. Diagrams. Reidemeister theorem, first invariants of knots and links. Crossing number, unknotting number. Alternating, toric, pretzel and rational links. Satellite links. Chiral and invertible links. Linking numbers. Seifert surfaces and Seifert forms. Tridimensional genus. Alexander polynomial, determinant and Tristram-Levine signatures. Prime decomposition. Braids and Alexander's theorem. Alexander-Conway polynomial, Kauffman bracket, Jones polynomial. 

Time permitting, one or more of the following topics will also be covered: 

Fundamental group. Wirtinger presentation. Colorings. Simmetric sums, ribbon and slice knots. Four-genus. Slice-ribbon conjecture. Concordance groups. Cyclic covers, branched and unbranched. Alexander ideals and polynomials. Fox calculus. Braid groups. Markov's theorem. 

Bibliografia e materiale didattico

Burde-Zieschang-Heusener - Knots

Crowell-Fox - Introduction to knot theory

Lickorish – An introduction to knot theory

Livingston - Knot theory

Murasugi - Knot theory and its applications

Rolfsen – Knots and links

Sossinsky-Prasolov – Knots, links, braids and 3-manifolds

Cromwell - Knots and links.

Bibliography

Burde-Zieschang-Heusener - Knots

Crowell-Fox - Introduction to knot theory

Lickorish – An introduction to knot theory

Livingston - Knot theory

Murasugi - Knot theory and its applications

Rolfsen – Knots and links

Sossinsky-Prasolov – Knots, links, braids and 3-manifolds

Cromwell - Knots and links.

Indicazioni per non frequentanti

Nessuna

Non-attending students info

None

Modalità d'esame

Esame orale

Assessment methods

Oral exam

Stage e tirocini

Nessuno

Work placement

None

Ultimo aggiornamento 31/07/2020 09:04