Scheda programma d'esame
GEOMETRIA E TOPOLOGIA DIFFERENZIALE
PAOLO LISCA
Anno accademico2021/22
CdSMATEMATICA
Codice055AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
GEOMETRIA E TOPOLOGIA DIFFERENZIALEMAT/03LEZIONI60
PAOLO LISCA unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente che supererà l'esame avrà maturato una solida conoscenza delle prime nozioni di geometria differenziale di curve e superfici, e delle nozioni fondamentali di topologia differenziale per varietà immerse. Conoscerà inoltre i risultati fondamentali della teoria del grado in ogni dimensione e padroneggierà alcune applicazioni (quali il teorema fondamentale dell'algebra, il teorema del punto fisso di Brower, il teorema di (non) pettinabilità delle sfere e il Teorema di Poincaré-Hopf).

 

 

Knowledge

Students who successfully complete the course will be able to demonstrate a solid knowledge of the elementary differential geometry of curves and surfaces in Euclidean space, as well as of the rudiments of degree theory in any dimension with applications (e.g. the Brower Fixed Point Theorem, the Hairy Ball Theorem and the Poincaré-Hopf Theorem).

Modalità di verifica delle conoscenze

Metodi:

  • Esame scritto finale.
  • Esame orale finale.

L'esame scritto valuterà la conoscenza dello studente riguardo ai risultati fondamentali della geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo. L'esame orale valuterà la comprensione dello studente degli elementi di topologia differenziale relativi alla teoria delle varietà di dimensione generica immerse nello spazio Euclideo, con particolare riferimento alla teoria del grado e alle sue applicazioni.

 

Assessment criteria of knowledge

Methods:

  • Final oral exam
  • Final written exam

The written test will evaluate the students' knowledge of the geometry of curves and surfaces in Euclidean spac. The oral exam will evaluate the students' knowledge of the general theory of manifolds embedded in Euclidean space, as well as of degree theory and its applications.  

Capacità

Lo studente che supererà l'esame sarà in grado di determinare curvatura e torsione di curve, e i vari tipi di curvatura delle superfici immerse nello spazio Euclideo. Sarà inoltre in grado di applicare il Teorema Egregium di Gauss ed il Teorema di Gauss-Bonnet a casi specifici, di dimostrare tutti i risultati enunciati nel corso relativi alla teoria delle varietà e alla teoria del grado e di applicarli a casi specifici anche non trattati a lezione.

 

 

Skills

Students who succesffully complete the course will be able to compute the curvature and the torsion of a curve, as well as the various types of curvatures of a surface embedded in the standard Euclidean space. Moreover, they will be able to apply Gauss' Egregium Theorem and the theorem of Gauss-Bonnet to specific cases. They will also have a good insight into the basics of differential topology: for example, they will learn to apply degree theory to obtain important results such as the fundamental theorem of algebra, Brouwer's fixed point theorem, the hairy ball theorem and the Poincaré-Hopf formula, and how to use these results to solve elementary exercises.

Modalità di verifica delle capacità

Metodi:

  • Esame scritto finale.
  • Esame orale finale.

Per superare l'esame scritto lo studente dovrà risolvere esercizi sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo. mostrando di avere sviluppato le capacità sopra citate. Per superare l'esame orale lo studente dovrà dimostrare di avere compreso a fondo gli elementi di topologia differenziale relativi alla teoria delle varietà di dimensione generica immerse nello spazio Euclideo, con particolare riferimento alla teoria del grado e alle sue applicazioni; dovrà inoltre essere in grado di applicare tali risultati per risolvere brevi esercizi. 

Assessment criteria of skills

 Methods:

  • Final oral exam
  • Final written exam

In the written test students will be required to solve some exercises on the geometry of curves and of surfaces in Euclidean space. During the oral exam student will be asked to discuss the reading material on degree theory and its applications thoughtfully, as well as to solve some elementary exercises.

Comportamenti

Lo studente che completerà il corso in maniera soddisfacente avrà sviluppato la capacità di dialogare sui contenuti del corso sia con i propri compagni sia con il docente utilizzando un linguaggio adeguato alla materia, ovvero conciso, rigoroso ed espressivo.

Behaviors

Students who succesffully complete the course will be able to discuss the course material with their fellow students, as well as with the teacher, using a rigorous mathematical language. 

Modalità di verifica dei comportamenti

La verifica delle capacità sopra citate avverrà tramite le conversazioni che avranno luogo e le domande che verranno poste durante l'esame orale.

Assessment criteria of behaviors

The behaviours mentioned above will be evaluated via the conversations that will take place and the questions that will be asked during the oral exam. 

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Topologia generale. Elementi di topologia algebrica (gruppo fondamentale e rivestimenti). Calcolo in una e più variabili. 

Prerequisites

General Topology. Elements of algebraic topology (fundamental group and covering theory). Calculus of several variables.

Corequisiti

Nessuno

Co-requisites

None

Prerequisiti per studi successivi

Nessuno

Prerequisites for further study

None

Indicazioni metodologiche

Metodo di insegnamento

  • Lezioni frontali

Frequenza: consigliata

 

Teaching methods

 Teaching methods:

  • Lectures

Delivery: face to face

Attendance: Advised

 

 

Programma (contenuti dell'insegnamento)
  1. Curve: supporto, parametrizzazione, riparametrizzazione, lunghezza d'arco. Curve regolari e biregolari. Orientazione di spazi vettoriali e prodotto vettore. Riferimento di Frenét, curvatura, torsione. Teorema fondamentale delle curve.
  2. Richiami su mappe lisce tra aperti di spazi Euclidei. Mappe lisce tra sottoinsiemi generici di spazi Euclidei. Cono e spazio tangente. Differenziale. Varietà, parametrizzazioni locali, carte, atlanti. Caratterizzazione locale di immersioni e sommersioni. Gruppi di Lie. Topologia di alcuni gruppi di matrici. Orientabilità (con particolare attenzione al caso delle ipersuperfici). 
  3. Teoria metrica delle superfici. I e II forma fondamentale, mappa di Gauss, curvature e direzioni principali, curvatura normale di curve, curvatura di Gauss. Locali isometrie e grandezze intrinseche. Simboli di Christoffel. Teorema Egregium. Campi lungo curve e derivata covariante. Flusso di campi vettoriali e parametrizzazioni ortogonali. Geodetiche: definizione, esistenza e unicità locali. Teorema di Clairaut. Caratteristica di Eulero-Poincaré. Teorema di Gauss-Bonnet locale e globale.
  4. Teoria del grado e applicazioni: Diffeomorfismi locali e rivestimenti. Teorema fondamentale dell'algebra. Classificazione delle 1-varietà. Lemma di Sard (senza dimostrazione). Omotopie e isotopia. Teorema di non retrazione. Teorema di Brower. Grado intero: definizione e proprietà. Pettinabilità delle sfere. Definizione di indice per zeri isolati di campi vettoriali. Lemma di Hopf. Fibrato normale e intorno tubolare. Teorema di Poincaré-Hopf.  
Syllabus
  1. Curves in three--dimensional Euclidean space. Arclength parametrization. Regular and biregular curves. Orientation of vector spaces and cross product. Frenet frame, curvature and torsion. The fundmental Theorem of curves.
  2. Smooth maps between subsets of the Euclidean space in arbitrary dimensions. Tangent cone and tangent space. The differential of a map. Manifolds, local parametrizatons, charts, atlases. Characterization of local immersions and of local submersions. Lie groups. Some matrix groups. Orientability.
  3. Metric properties of surfaces. The first fundamental form, the Gauss map and the second fundamental form. Principal directions, principal curvatures, Gauss curvature. Local isometries and intrinsic quantities. The Crhistoffel symbols. Gauss's Theorema Egregium. Flows of vector fields and existence of orthogonal parametrizations. Covariant differentiation, parallel translation and geodesics. The Euler characteristic. Local and global Gauss--Bonnet theorem. 
  4. Degree theory and applications. Local diffeomorphisms and smooth coverings. The fundamental Theorem of algebra. Classification of 1-manifolds. Sard's Lemma (without proof). Homotopy and isotopy of maps. The non-retraction Theorem. The Brower fixed point Theorem. The degree of a map. The hairy ball Theorem. The index of an isolated zero of a vector field. The Hopf Lemma. the normal bundle and the tubular neighbourhood. The Poincaré-Hopf Theorem.

 

Bibliografia e materiale didattico

M. P. Do Carmo, "Differential geometry of curves and surfaces"

T. Shifrin, "DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces", available at http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf 

J. Milnor, "Topology from the differentiable viewpoint"

V. Guillemin, A. Pollack, "Differential Topology"

Bibliography

M. P. Do Carmo, "Differential geometry of curves and surfaces"

T. Shifrin, "DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces", available at http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf 

J. Milnor, "Topology from the differentiable viewpoint"

V. Guillemin, A. Pollack, "Differential Topology"

Indicazioni per non frequentanti

Nessuna

Non-attending students info

None

Modalità d'esame

Per superare l'esame, ogni studente dovrà superare sia un esame scritto nel quale è richiesta la risoluzione di esercizi sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo, sia un esame orale che verte sulla teoria generale delle varietà e sugli elementi di topologia differenziale trattati nel corso. 

Assessment methods

Students will be required to pass a written examination (in which they will be asked to solve exercises on the geometry of curves and surfaces in Euclidean 3-space) as well as an oral exam on the general theory of manifolds in every dimension and the elements of differential topology treated in the course.

Ultimo aggiornamento 30/07/2021 17:02