Scheda programma d'esame
ANALISI REALE
VALENTINO MAGNANI
Anno accademico2021/22
CdSMATEMATICA
Codice740AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
ANALISI REALEMAT/05LEZIONI48
VALENTINO MAGNANI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Risultati principali di teoria della misura e dell'integrazione in spazi mensurali, includendo il teorema di Carathéodory per misure esterne, il teorema di estensione di Carathéodory-Hahn, l'integrale su spazi mensurali, i teoremi di Fatou, Beppo Levi e di Lebesgue con il confronto rispetto la teoria di Riemann, il lemma di Hahn, il teorema di decomposizione di Jordan ed il teorema di Radon-Nikodym. Studio delle misure boreliane, di Radon, di Carathéodory e di Hausdorff. Conoscenza dei teoremi di Lusin e di Egorov. Teorema di rappresentazione di Riesz in spazi localmente compatti. Misure prodotto, teorema di Tonelli e di Fubini su spazi mensurali. Spazi di Lebesgue astratti, loro proprietà basilari, misure a valori in uno spazio di Banach e integrale di Bochner. Teoremi di ricoprimento di Vitali, differenziabilità quasi ovunque delle funzioni monotone, funzioni assolutamente continue e a variazione limitata in spazi metrici, caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue tramite il teorema fondamentale del calcolo.

Knowledge

Main results about measure theory and integration in measure spaces, including Carathéodory theorem for outer measures, Carathéodory-Hahn's extension theorem, Fatou, Beppo Levi and Lebesgue theorems and comparison with the Riemann integral, Hahn's lemma, Jordan decomposition theorem, and Radon-Nikodym theroem. Study of Borel, Radon, Carathéodory and Hausdorff measures. Knowledge of Lusin and Egorov theorems. Riesz representation theorem in locally compact spaces. Product measures, Tonelli and Fubini theorems on measure spaces. Lebesgue spaces and their basic properties, Banach valued measures and Bochner integral. Vitali covering theorems, almost everywhere differentiability of monotone functions, absolutely continuous functions and functions of bounded variations in metric spaces, characterization of absolutely continuous functions by the Fundamental Theorem of Calculus. 

Modalità di verifica delle conoscenze

La verifica dell'apprendimento avviene tramite un'unica prova orale che verte su tutto il programma d'esame. Qui sono richiesti i risultati del corso e la capacità di saperli esporre e dimostrare, affrontando eventuali esercizi.

Assessment criteria of knowledge

The student's knowledge of all course content is assessed by an oral exam. Clarity of exposition and knowledge of statements and their proofs are taken into special account. The ability to tackle possible exercises or applications will be also considered.

 

Capacità

Lo studente avrà acquisito la padronanza dei principali risultati di Analisi Reale, con il rigore necessario per un loro corretto utilizzo in diversi campi della Matematica, quali ad esempio l'Analisi Funzionale, la Teoria delle Probabilità e la Teoria Geometrica della Misura.

Skills

The student is expected to master the main results of Real Analysis. The rigorous knowledge of the course contents provides the student with a solid background, that may be also useful for related fields, like Functional Analysis, Probability and Geometric Measure Theory.

Modalità di verifica delle capacità

Tutti i risultati del corso sono sviluppati all'interno del corso stesso, ricorrendo solo occasionalmente a enunciati senza dimostrazioni, i quali saranno comunque accompagnati da una precisa bibliografia. La verifica delle capacità richiede che lo studente sia in grado di ricostruire il risultato più complesso partendo dai suoi elementi più semplici. La capacità di risolvere eventuali esercizi rafforzerà tale verifica.

Assessment criteria of skills

All results of the course are essentially self-contained. Therefore the examination considers at which extent the student is able to reconstruct a complicated esult from its basic elements. The ability to solve problems or exercises is also evaluated.

Comportamenti

Lo studente sarà in grado di continuare, anche autonomamente, il percorso formativo nel campo dell'Analisi Reale, incentrandosi anche sugli sviluppi più avanzati. 

Behaviors

The student will be able to continue the study of Real Analysis also by him/herself, with the possibility to understand more advanced results in the field.

Modalità di verifica dei comportamenti

La verifica della comprensione e delle applicazioni dell'Analisi Reale avviene nella valutazione della corretta esposizione dei teoremi e delle loro dimostrazioni, nonché nell'affrontare eventuali esercizi.

 

 

Assessment criteria of behaviors

The oram exam precisely verifies the student's understanding of theorems and proofs in Real Analysis. Ability to solve exercise is also taken into account.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Il corso non richiede particolari prerequisiti, se non la conoscenza dei numeri reali, le operazioni insiemistiche elementari e la nozione di funzione. D'altra parte la comprensione di esempi, esercizi ed applicazioni è facilitata dall'aver seguito corsi di Analisi Matematica del primo e del secondo anno. Saranno utili anche le nozioni basilari riguardanti spazi vettoriali, spazi di Banach e operatore lineari.

Prerequisites

Since the course is built from basic concepts, only the knowledge of real numbers, operations with sets and the notion of function are required. However, the understanding of examples, applications and exercises is simplified by the knowledge of the main results of Mathematical Analysis. The knowledge of basic facts about vector spaces, Banach spaces and linear operators is also useful.

Indicazioni metodologiche

Il corso è costituito da lezioni in modalità mista, ovvero sia in presenza che online. Sebbene le lezioni sostanzialmente esauriscono il programma del corso, lo studente è invitato a integrarle anche con gli esercizi dati a lezione e l'ausilio dei testi consigliati. La frequenza è fortemente raccomandata.

Teaching methods

The course develops through lectures in presence and online. Although the lectures aim to present the whole course material, the student is expected to cover the full program also including the exercises presented during the lectures and reference books, if necessary. Attending all classes is strongly recommended.

Programma (contenuti dell'insegnamento)
  1. Misure e misure esterne. Spazi mensurali, misure esterne e proprietà basilari, teorema di Carathéodory per misure esterne, funzioni misurabili e loro approssimazione, misura di Lebesgue, insiemi non misurabili, algebre, anelli e semianelli di insiemi, estensione di Carathéodory-Hahn.
  2. Teoria dell’integrazione astratta e spazi di Lebesgue. Integrale di Lebesgue su uno spazio mensurale, teoremi di Beppo Levi, Fatou e Lebesgue. Continuità e derivabilità di integrali rispetto ad un parametro. Proprietà basilari degli spazi di Lebesgue rispetto una misura µ e loro completezza. Convergenza nella norma delle funzioni p-sommabili, convergenza puntuale q.o., convergenza in misura e relative implicazioni. Disuguaglianza di Jensen.
  3. Operazioni sulle misure. Misure con segno, teorema di Hahn e decomposizione di Jordan per misure con segno, variazione totale, assoluta continuità dell’integrale e teorema di Radon-Nikodym.
  4. Misure e topologia. Misure boreliane, approssimazione di boreliani con aperti, chiusi e compatti, criterio di Carathéodory per misure boreliane, misure di Radon su spazi topologici, teorema di Lusin e densità delle funzioni continue nello spazio delle funzioni p-sommabili. Teorema di rappresentazione di Riesz per funzionali sullo spazio delle funzioni continue a supporto compatto.
  5. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Prodotto di misure, teoremi di Fubini e di Tonelli su spazi mensurali, con controesempi per ipotesi più deboli.
  6. Funzioni assolutamente continue e a variazione limitata. Teoremi di ricoprimento di Vitali, differenziabilità quasi ovunque delle funzioni monotone, funzioni a variazione limitata e funzione di Cantor. Funzioni assolutamente continue e loro caratterizzazione tramite il teorema fondamentale del calcolo.
  7. Misura di Hausdorff, frattali e formula di area. Misura di Haudorff e dimensione di Hausdorff, esempi di calcolo della dimensione di Hausdorff per frattali, mappe holderiane e misura di Hausdorff, uguaglianza tra misura di Hausdorff e misura di Lebesgue, formula dell’area e cambiamento di variabile nello spazio euclideo.
  8. Argomenti opzionali, I. Integrale di Lebesgue su spazio mensurale tramite opportune somme superiori e inferiori. Differenze tra integrazione secondo Lebesgue e integrazione secondo Riemann. Caratterizzazione delle funzioni integrabili secondo Riemann.
  9. Argomenti opzionali, II. Misure vettoriali, integrale di Bochner e controesempi al teorema di Radon-Nikodym per misure a valori in uno spazio di Banach. Relazione tra misure e misure esterne.

N.B. Tutti i teoremi del programma sono da intendersi con relative dimostrazioni.

Syllabus
  1. Measures and outer measures. Measurable spaces, outer measures and their basic properties, Carathéodory’s theorem for outer measures, measurable functions and their approximation, Lebesgue measure, nonmeasurable sets, algebras, rings and semirings of sets, Carathéodory-Hahn’s extension.
  2. Integration theory and Lebesgue spaces. Lebesgue integral over a measure space, Beppo Levi’s, Fatou’s and Lebesgue’s theorems. Continuity and differentiation of integrals with respect to parameters. Basic properties of Lebesgue spaces with respect to a measure µ and their completeness. Convergence in the norm of p-summable functions, pointwise a.e. convergence, convergence in measure and related implications. Jensen inequality.
  3. Operations on measures. Signed measures, Hahn’s theorem and Jordan decomposition theorem for signed measures, total variation, absolute continuity of the integral and Radon-Nikodym's theorem.
  4. Measures and topology. Borel measures, approximation of Borel sets with open, closed and compacts sets, Carathéodory’s criterion for Borel measures, Radon measures on topological spaces, Lusin theorem and density of continuous functions in the space of p-summable functions. Riesz’s representation theorem for linear functionals on the space of continuous functions with compact support.
  5. Fubini's and Tonelli's theorems. Product of measures, Fubini's and Tonelli’s theorems over measure spaces and their counterexamples with respect to weakened assumptions.
  6. Absolutely continuous functions and functions of bounded variation. Vitali’s covering theorems, a.e. differentiability of monotone functions, function of bounded variation and Cantor’s function. Absolutely continuous functions and their characterization by the fundamental theorem of Calculus.
  7. Hausdorff measure, fractals and area formula. Hausdorff measure and Hausdorff dimension, some computations of Hausdorff dimension for fractals, relationship between holder continuous functions and Hausdorff measure, equality between Hausdorff measure and Lebesgue measure, area formula and change of variable in Euclidean space.
  8. Optional material, I. Another approach to Lebesgue integral through upper and lower sums. Comparison between Lebesgue integral and Riemann integral. Characterization of Riemann integrable functions.
  9. Optional material, II. Vector measures, Bochner integral and counterexamples to the Radon-Nikodym theorem for Banach space valued measures. Relationship between measures and outer measures.

Note: All results mentioned in the syllabus are understood along with their proofs.

Bibliografia e materiale didattico

[1] L.Ambrosio, G.Da Prato, A.Mennucci, Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale, 2011.

[2] L.Ambrosio, N.Fusco, D.Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, New York, 2000.

[3] L.Ambrosio, P.Tilli, Topics on analysis in metric spaces, Oxford University Press, Oxford, 2004.

[4] Y.Benyamini, J.Lindenstrauss, Geometric Nonlinear Functional Analysis, American Mathematical Society, 2000.

[5] Y.D.Burago, V.A.Zalgaller, Geometric inequalities, Grundlehren Math. Springer, Berlin, 1988.

[6] S.B.Chae, Lebesgue integration, Collana “Universitext”, Springer 1995.

[7] D.L.Cohn, Measure Theory, Birkhäuser, 1980.

[8] L.C.Evans and R.F.Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

[9] H.Federer, Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.

[10] K.Falconer, Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, Wiley, 2003.

[11] G.B.Folland, Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, 1999.

[12] I.P.Natanson, Theory of functions of a real variable, New York, 1964.

[13] H.L.Royden and P.M.Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson Education, 2010.

Bibliography

[1] L.Ambrosio, G.Da Prato, A.Mennucci, Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale, 2011.

[2] L.Ambrosio, N.Fusco, D.Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, New York, 2000.

[3] L.Ambrosio, P.Tilli, Topics on analysis in metric spaces, Oxford University Press, Oxford, 2004.

[4] Y.Benyamini, J.Lindenstrauss, Geometric Nonlinear Functional Analysis, American Mathematical Society, 2000.

[5] Y.D.Burago, V.A.Zalgaller, Geometric inequalities, Grundlehren Math. Springer, Berlin, 1988.

[6] S.B.Chae, Lebesgue integration, Collana “Universitext”, Springer 1995.

[7] D.L.Cohn, Measure Theory, Birkhäuser, 1980.

[8] L.C.Evans and R.F.Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

[9] H.Federer, Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.

[10] K.Falconer, Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, Wiley, 2003.

[11] G.B.Folland, Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, 1999.

[12] I.P.Natanson, Theory of functions of a real variable, New York, 1964.

[13] H.L.Royden and P.M.Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson Education, 2010.

Modalità d'esame

L'esame prevede una prova orale su tutto il programma. La prova richiede la precisa conoscenza dei teoremi del corso assieme alle loro dimostrazioni. Potrà essere richiesta opzionalmente anche la risoluzione di esercizi.

Assessment methods

The final evaluation is by oral exam, that focusses on the whole course content. The precise knowledge of results and proofs of the course will be carefully assessed. The solution of exercises or problems can be optionally requested.

Notes

The web page of the class is in Italian.

Ultimo aggiornamento 16/06/2022 14:53