CdSMATEMATICA
Codice768AA
CFU11
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano
| Moduli | Settore/i | Tipo | Ore | Docente/i | |
| ISTITUZIONI DI GEOMETRIA | MAT/03 | LEZIONI | 72 |
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Lo scopo del corso è fornire agli studenti delle solide conoscenze riguardanti i più importanti aspetti della topologia e geometria differenziale, con un'attenzione particolare a quegli strumenti che hanno applicazioni in altre aree della matematica e in fisica teorica. In particolare, la/o studente che completa il percorso con successo acquisirà solide conoscenze sugli argomenti seguenti: - varietà lisce; - campi vettoriali, fibrati vettoriali e flussi; - geometria Riemanniana di base; - forme differenziali e coomologia di De Rham.
The aim of the course is to provide the students with a solid knowledge of the most important differential geometric tools, with an eye towards their use in all areas of Mathematics, as well as in the application of Mathematics to other fields. In particular, the student who successfully completes the course will acquire a solid knowledge of: - smooth manifolds; - vector bundles, vector fields and flows; - basic Riemannian geometry; - differential forms and de Rham cohomology.
L'esame è scritto ed orale. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati numerosi esercizi settimanali, che verranno corretti dal docente.
The exam consists in a written and an oral part. Many home exercises will be assigned to the students who attend the lessons weekly, to help them following the lectures.
Capire e manipolare varietà lisce, campi e fibrati vettoriali, la coomologia di De Rham, le strutture riemanniane.
To understand and manipulate smooth manifolds, vector fields and bundles, De Rham cohomology, and some Riemannian geometry.
L'esame è scritto ed orale. Per aiutare la/o studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati numerosi esercizi settimanali, che verranno corretti dal docente.
The exam consists in a written and an oral part. Many home exercises will be assigned to students attending the lessons weekly, to help them following the lectures.
La/o studente deve essere in grado di studiare in modo autonomo e risolvere autonomamente degli esercizi impegnativi.
The student must learn independently and solve hard exercises.
L'esame è scritto ed orale. Per aiutare lo studente frequentante nello studio continuo del programma, saranno anche assegnati numerosi esercizi settimanali, che verranno corretti dal docente.
The exam consists in a written and an oral part. Many home exercises will be assigned to attending students weekly, to help them following the lectures.
I primi due anni di matematica. E' consigliato aver seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale.
The first two years of mathematics. It would be advisable to have already followed Geometria e Topologia Differenziale.
Le lezioni saranno frontali.
Verranno consegnati agli studenti frequentanti degli esercizi alla fine di ogni settimana. Gli esercizi saranno quindi corretti dal docente.
Lessons will be face to face.
Home exercises will be assigned to attending students every week. These will be revised by the teacher.
- Varieta' differenziabili. Applicazioni differenziabili. Partizioni dell'unita'. Spazio tangente. Differenziale. Immersioni, embedding e sottovarieta'. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilita'. Rivestimento doppio di una varieta' non orientabile. Omotopia, isotopia e isotopia ambiente. Esistenza e unicità dell'intorno tubolare. Immersione di Whitney. Foliazioni. Trasversalità. Gruppi di Lie.
- Forme differenziali. Differenziale esterno. Teorema di Stokes. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Dualita' di Poincare'. Teorema di Kunneth.
- Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Sezioni parallele e trasporto parallelo. Metriche Riemanniane. Isometrie e isometrie locali. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali e uniformemente normali. Lunghezza di una curva. Distanza Riemanniana. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci.
The course covers the basics of differential geometry: smooth manifolds, smooth maps, partitions of unity, tangent vectors, vector bundles, tangent and cotangent bundles, tensor bundles, sections of vector bundles, vector fields and differential forms, the flow of a vector field, Lie brackets, orientation, tubular neighbourhoods, Whitney's immersion theorems, foliations, transversality, Lie groups.
The second part of the course covers differential forms and De Rham cohomology: integration and external differentiation of differential forms, orientation, Stokes theorem, Mayer-Vietoris sequence, Poincare' lemma, cohomology of euclidean spaces and spheres, Poincare' duality, Kunneth theorem.
The last part covers the basics of Riemannian geometry: connections, covariant derivative, parallel transport, Riemannian metrics, isometries, Levi-Civita connection, geodesics, exponential maps, Riemannian distance, minimizing properties of geodesics, the Riemann and Ricci tensors, sectional curvature.
Una bozza di libro liberamente fruibile dalla pagina web del corso coprirà tutti gli argomenti.
A book project freely available from the course web page will cover all the topics mentioned during the lectures.
Studiare tutto il programma sulle note del corso guardando il registro delle lezioni. Ci sarà uno scritto ed un orale.
Study the whole program on the curse notes, looking at the website. The exam will be written and oral.
Esame scritto ed orale. Saranno consegnati settimanalmente degli esercizi da risolvere a casa.
Written and oral exams. Some home exercises will be assigned on a weely base.