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MATHEMATICAL ANALYSIS
BOZHIDAR VELICHKOV
Academic year2021/22
CoursePHYSICS
Code637AA
Credits6
PeriodSemester 1
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICAMAT/05LEZIONI48
BOZHIDAR VELICHKOV unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Al termine del corso lo studente sarà in grado di padroneggiare e utilizzare gli strumenti dell'analisi in più variabili in particolare: calcolo differenziale, forme differenziali, integrali multipli, integrali su linee e superfici.

Knowledge

The students will develop a working knowledge of the differential and integral calculus in several variables.

Modalità di verifica delle conoscenze
  • La verifica delle conoscenze sarà oggetto della valutazione dell'elaborato scritto previsto all'inizio di ogni sessione d'esame.
  • E' prevista una prova orale. 
  • Gli orali saranno trasmessi in streaming sul gruppo teams del corso: 637AA 21/22 - COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA [FIS-L]
Assessment criteria of knowledge

 

  • Final oral exam
  • Final written exam
Capacità

Lo studente sarà in grado di svolgere esercizi riguardanti: studio di funzioni in più variabili, forme differenziali, calcolo di integrali multipli, calcolo di flussi su superfici, calcolo di integrali curvilinei.

Skills

The students will be able to prove the main theorems concerning the analysis in several variables. They will also be able to find extremals with and without constraints, to compute 2 and 3 dimensional integrals and to use in the appropriate way Gauss-Green and Stokes theorems.

Modalità di verifica delle capacità

Svolgimento di esercizi durante la prova scritta.

Assessment criteria of skills

Final written and oral examination

Comportamenti

Lo studente sarà in grado di scegliere gli strumenti più opportuni per risolvere i vari problemi dell'Analisi.

Modalità di verifica dei comportamenti

Svolgimento di esercizi durante la prova scritta

Assessment criteria of behaviors

Final written and oral examination

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Analisi Matematica in una  variabile: calcolo differenziale, studio di funzioni, calcolo di integrali, studio di integrali impropri.

Prerequisites

Main tools of differential and integral calculus in one variable.

Teaching methods

Delivery: face to face

Learning activities:

  • attending lectures
  • individual study

Attendance: Advised

Teaching methods:

  • Lectures
Programma (contenuti dell'insegnamento)

1. Elementi di topologia nello spazio euclideo.

1.1. Lo spazio euclideo. Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
Distanza euclidea e disuguaglianza triangolare. Convergenza di successioni e successioni di Cauchy. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Funzioni continue. Composizione di funzioni continue.

1.2. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Chiusura, parte interna e frontiera di un insieme.

1.3. Insiemi compatti, compatti per successioni, insiemei chiusi e limitati. Funzioni continue su insiemi compatti: teorema di Weierstrass. Uniforme continuità e teorema di Cantor.

1.4. Insiemi connessi per archi. Aperti connessi per archi. Teorema del valore intermedio. Una funzione derivabile, definita su un aperto connesso per arhchi, e con gradienete nullo è costante. 

2. Studio di funzioni di più variabili.

2.1. Limiti di funzioni. Limiti direzionali. Limiti di funzioni e coordinate polari. Limiti di funzioni e convergenza uniforme.

2.2. Funzioni differenziabili. Convergenza uniforme e interpretazione geometrica della differenziabilità. Esempi e controesempi sulla differenziabilità, derivabilità e continuità. Teorema del differenziale. Derivazione lungo curve regolari. 

2.3. Derivate parziali di ordine superiore - teorema di Schwartz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Massimi e minimi relativi e assoluti. Punti di sella. Condizioni necessarie e sufficienti. Matrici semidefinite positive, semidefinite negative, definite positive, definite negative, indefinite.
Massimi e minimi sul bordo di un insieme regolare. Condizioni necessarie e sufficienti al primo e al secondo ordine. Vettore normale e vettore tangente al bordo di un insieme regolare.

2.4. Teorema della funzione implicita. Moltiplicatori di Largange. Massimi e minimi vincolati. 

2.5. Funzioni differenziabili a valori vettoriali. Composizione di funzioni differenziabili. Formula per le derivate parziali della funzione composta. Diffeomorfismi tra insiemi aperti. Teorema della funzione inversa.

3. Forme differenziali e integrali curvilinei

3.1. Definizione e operazioni con le forme differenziali: somma e prodotto con una funzione.
Prodotto esterno. Differenziale di una funzione.
Derivata esterna di una forma differenziale.
Forme chiuse e forme esatte. Le forme esatte sono chiuse. Esempio di una forma chiusa che non è esatta.

3.2. Integrazione su curve. Integrazione di 1-forme su curve. Curve chiuse, semplici, regolari a tratti.
Concatenamento e curve opposte. Integrazione di forme esatte su curve chiuse. Integrazione di funzioni su curve. Integrale di una funzione continua su una curva.
Integrazione su curve equivalenti, opposte e concatenate. Lunghezza di una curva.

3.3. Teorema della derivazione sotto il segno dell'integrale.
Lemma di Poincaré sui rettangoli. Forme chiuse e forme esatte in aperti stellati.
Domini diffeomorfi e forme differenziali. Insiemi semplicemente connessi.

4. Integrazione. 

4.1.Integrale di Riemann su un dominio rettangolare. Partizioni e somme di Riemann superiore e inferiore. Integrale di Riemann superiore e inferiore. Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari. Teorema di Fubini su domini rettangolari. Definizione di integrale su un insieme limitato.
Domini normali. Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale.
Teorema di Fubini in domini normali.

4.2. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza.
Orientazione in dimensione due. Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario.
Formula di Stokes. Cambio di variabili in dimensione due. Integrazione in coordinate polari nel piano.
Integrazione su superfici parametriche. Formula di Stokes per le superfici.
Prodotto vettoriale in dimensione tre. Divergenza e rotore di un campo in dimensione tre.
Integrazione di funzioni su superfici. Teorema del rotore. 

Syllabus

DIFFERENTIAL CALCULUS IN SEVERAL VARIABLES. Limits of functions. Continuity. Partial derivatives and directional derivatives. Differentiable functions and differential. Tangent hyperplane. Gradient. Sufficient conditions for the differentiability. Jacobian matrix. Differentiation of a composition of functions. Higher order derivatives. Taylor's formula. Extremals with and without constraints. INTEGRAL CALCULUS IN SEVERAL VARIABLES. Reduction formula. Change of variable formula. Area and volume computation. Generalized integrals. VECTOR FIELDS AND DIFFERENTIAL FORMS. Parametric curves. Lenght of a curve. Curvilinear integral. Vector fields and linear differential forms. Integration on closed paths. Conservative fields and exact forms. Surface integral of functions. Gauss-Green and Stokes theorems.

Bibliografia e materiale didattico

Dispense del corso sul sito http://www.velichkov.it/analisi2-fisica-2021-2022.html

Analisi Matematica II. Marcellini - Sbordone.

Analisi Matematica II. Fusco - Marcellini - Sbordone

Analisi Matematica II. Acerbi - Buttazzo

Analisi Matematica II, Schede ed Esercizi, autori Ghisi - Gobbino, editrice Esculapio

Modalità d'esame

Scritto e orale.

 

Le modalità d'esame verranno aggiornate in base all'evolversi della situazione "covid"

 

Assessment methods
  • Final oral exam
  • Final written exam

 

Altri riferimenti web

http://www.velichkov.it/teaching.html

Updated: 03/01/2022 14:56