Scheda programma d'esame
GEOMETRIA 1
MARIO SALVETTI
Anno accademico2022/23
CdSMATEMATICA
Codice614AA
CFU15
PeriodoAnnuale
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
GEOMETRIA 1MAT/03LEZIONI120
SANDRO MANFREDINI unimap
MARIO SALVETTI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente avrà acquisito le conoscenze base della teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari, con alcune applicazioni geometriche fondamentali di base, che sono di fondamento per quasi tutti i corsi successivi.

 

Knowledge

The student will have acquired the basic knowledge of the theory of vector spaces and linear applications, which are fundamental for almost all subsequent courses (both mathematics and physics).  

 

Modalità di verifica delle conoscenze

esame scritto e orale, prove in itinere, ricevimenti personalizzati.

Assessment criteria of knowledge

written and oral exam, ongoing tests, personalized receptions.        

 

Capacità

al termine del corso lo studente sarà in grado di manipolare e usare gli strumenti base che verranno poi applicarti in seguito

Skills

at the end of the course the student will be able to manipulate and use the basic tools, that will be applied in later courses

Modalità di verifica delle capacità

domande e interventi in aula, proposizione di esercizi da risolvere

Assessment criteria of skills

questions and interventions in the classroom, proposition of exercises to be solved

Comportamenti

lo studente acquisirà la capacità di astrazione e di modellizzazione tipiche delle materie scientifiche

Behaviors

the student will acquire the abstraction and modeling skills typical of scientific subjects

Modalità di verifica dei comportamenti

domande dirette in aula con verifica della capacità di soluxione di problemi

Assessment criteria of behaviors

direct questions in the classroom with verification of the ability to solve problems

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

capacita' di ragionamento e deduzione logica: puo' essere d'aiuto aver studiato  Geometria euclidea e geometria analitica nelle scuole superiori.

 

Prerequisites

reasoning and logical deduction skills: it may be helpful to have studied Euclidean geometry and analytical geometry in high schools.

Prerequisiti per studi successivi

e' un insegnamento di base per tutte le materie che vengono studiate a Matematica

Prerequisites for further study

it is strongly recommended for all subjects that are studied later

Indicazioni metodologiche

corsi frontali, si usano delle note (reperibili on line) scritte dai docenti.

Teaching methods

frontal courses, notes (available online) written by the teacher are used.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

A grandi linee (con possibili variazioni minori):

- Vettori geometrici:  somma, prodotto esterno, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto e scrittura in coordinate; applicazioni (distanze, angoli, aree, volumi); equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani nello spazio.

- Assiomi di campo e di spazio vettoriale. Numeri complessi. Sottospazi, combinazioni lineari, span. Lineare indipendenza. Caratterizzazione delle basi. Ogni spazio vettoriale ha base (dimostrazione nel caso finitamente generato). Algoritmo di scambio, dimensione di uno spazio vettoriale. Somme e somme dirette. Formula di Grassmann.

- Teoria dei sistemi lineari (teorema di Roche'-Capelli, algoritmo di Gauss, rango, rango per righe=rango per colonne).

- Applicazioni lineari: nucleo, immagine, formula delle dimensioni, matrice associata. Composizione e prodotto righe per colonne. Formula del cambiamento di base (caso generale e caso della similitudine per endomorfismi). SD equivalenza. Invarianti per similitudine.

- Determinante: assiomi, gruppo simmetrico (segno di una permutazione), formula del determinante, sviluppo per righe e per colonne, matrice inversa. Teorema di Binet.

- Autovalori e autovettori: polinomio caratteristico, molteplicita' algebrica e geometrica, caso reale, diagonalizzabilita', criteri di diagonalizzabilita'. Indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti. Polinomio minimo, caso diagonalizzabile, teorema di Hamilton-Cayley. Sottospazi invarianti, caso diagonalizzabile, criterio di diagonalizzabilita' simultanea. Triangolarizzabilita'. Forma canonica di Jordan.

- Prodotti scalari: matrice associata a un prodotto scalare. Formula di cambiamento di base (congruenza). Sottospazio radicale. Formula della dimensione dell'ortogonale di un sottospazio. Teorema di Lagrange e Gram-Schmidt. Teorema di Sylvester reale e complesso, segnatura. Vettori e sottospazi isotropi. Prodotti hermitiani. Operatori simmetrici ed hermitiani. Operatori ortogonali ed unitari. Teorema di Riesz, operatore trasposto e aggiunto. Teorema spettrale. Triangolarizzazione con matrici unitarie. Matrici e operatori normali.

 - Spazi affini. Classificazione affine e isometrica delle quadriche.

 

 

 

Syllabus

- Eigenvalues and eigenvectors: characteristic polynomial, algebraic and geometric multiplicity, real case, diagonalizability, diagonalizability criteria. Independence of eigenvectors related to distinct eigenvalues. Minimum polynomial, diagonalizable case, Hamilton-Cayley theorem. Invariant subspaces, diagonalizable case, simultaneous diagonalizability criterion. Triangularizability.

- Scalar products: matrix associated with a scalar product. Basic change formula (congruence). Radical subspace. Formula of the dimension of the orthogonal of a subspace. Lagrange and Gram-Schmidt theorem. Real and complex Sylvester theorem, signature. Isotropic vectors and subspaces. Hermitian products. Symmetric and Hermitian operators. Orthogonal and unitary operators. Spectral theorem. Triangularization with unit matrices. Normal matrices (application to the spectral theorem).
 

Bibliografia e materiale didattico

Prevalentemente note scritte dei docenti.

Diversi libri sono consultabili, anche se non verranno seguiti come libri di testo

(autori: Lang, Sernesi, Ciliberto, Abate)

Bibliography

Mostly  notes written by the teacher.

Reference texts: Lang, Linear Algebra.

Indicazioni per non frequentanti

non ci sono variazioni

Non-attending students info

there are no variations

Modalità d'esame

Scritto e orale.

Assessment methods

Written and oral.

Altri riferimenti web

http://people.dm.unipi.it/salvetti/GeometriaI/indice3.html

Additional web pages

http://people.dm.unipi.it/salvetti/GeometriaI_Fisica/indice2.html

Note

-

Ultimo aggiornamento 23/09/2022 16:18