Scheda programma d'esame
TEORIA GEOMETRICA DELLA MISURA
VALENTINO MAGNANI
Anno accademico2022/23
CdSMATEMATICA
Codice225AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
TEORIA GEOMETRICA DELLA MISURA/aMAT/05LEZIONI42
VALENTINO MAGNANI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente potrà acquisire una buona conoscenza dei principali argomenti di Teoria Geometrica della Misura, comprendendone strumenti, obiettivi e sviluppi. I temi principali sono costituiti dalle proprietà fini di funzioni reali, proprietà delle misure di Hausdorff, le loro trasformazioni tramite mappe lipschitziane, gli insiemi frattali, gli insiemi rettificabili e quelli di perimetro finito. Una descrizione più diffusa è contenuta nel programma del corso.

Knowledge

The student will be able to get a good knowledge of the main facts of Geometric Measure Theory, starting from its tools and objectives to its developments. The main topics of the course are constituted by fine properties of real functions, properties of Hausdorff measures, their transformations through Lipschitz maps, fractal sets, rectifiable sets and sets of finite perimeter. A more detailed description of the contents can be found in the program of the course.

Modalità di verifica delle conoscenze

La verifica delle conoscenze avviene tramite prova orale, che si tiene nell'esame finale. La chiarezza dell'esposizione, la conoscenza degli enunciati e le loro dimostrazioni sono gli elementi principali della valutazione.

 

Assessment criteria of knowledge

The student's knowledge is assessed by an oral examination, after the end of the course. Clarity of exposition, knowledge of statements along with their proofs are the main points of the evaluation. 

Capacità

La padronanza degli strumenti offerti dal corso può consentire il proseguimento degli studi su temi di ricerca più recente, specialmente in riferimento agli argomenti trattati. Lo studente sarà anche in grado di fornire quei dettagli tecnici che non sono disponibili in trattazioni avanzate.

Skills

A deep knowledge of the tools offered by the course can allow for the continuation of the studies on more recent research topics, especially with reference to the topics covered by the course. The student will be also able to provide those technical details that are not available in the more advanced researach lilterature.

Modalità di verifica delle capacità

La verifica delle capacità acquisite avverrà nell'esame finale.

Assessment criteria of skills

The assessment of the skills acquired will take place in the final exam.

Comportamenti

Lo studente potrà sviluppare uno speciale interesse per le tematiche che riguardano versioni "nonsmooth" della geometria differenziale classica. 

Behaviors

The student will be able to develop a special interest in issues concerning "nonsmooth" versions of classical differential geometry.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Si richiede la conoscenza dei corsi di Analisi del primo biennio, la teoria della misura di Lebesgue e le nozioni essenziali di Teoria della Misura. Saranno comunque richiamati tutti i risultati necessari, come la differenziabilità quasi ovunque delle funzioni monotone, le proprietà basilari delle misure astratte, misure boreliane e di Radon, l'integrazione astratta, il teorema di Radon-Nikodym, il teorema di Fubini, i teoremi di convergenza per successioni di funzioni misurabili e il teorema di rappresentazione di Riesz per funzionali su spazi di funzioni continue. Tutti i teoremi utilizzati avranno comunque delle precise referenze. Un corso di Analisi Reale contiene ampiamente i prerequisiti richiesti.

Prerequisites

Courses of Calculus and Analysis, Lebesgue measure and the essential notions of measure theory are required. However, all the necessary results will be recalled, such as the almost everywhere differentiability of monotone functions, the basic properties of abstract measures, Borel and Radon measures, abstract integration, Radon-Nikodym theorem, Fubini's theorem, limits of sequences of integrals and Riesz's representation theorem for functionals on spaces of continuous functions. Precise references will be also given. A Real Analysis course largely contains the required prerequisites.

Corequisiti

Gli sviluppi del corso renderanno utile anche la conoscenza dei risultati essenziali su varietà differenziabili dello spazio euclideo. Quindi lo studente può facoltativamente frequentare anche un corso che tratti argomenti di geometria differenziale. 

Co-requisites

The essential results about differentiable manifolds in Euclidean space will be useful for the developments of the course. Therefore, the student can optionally follow a course containing the basic facts of differential geometry. 

Prerequisiti per studi successivi

Gli argomenti del corso potrebbero estendersi al contesto dell'Analisi in Spazi Metrici, sviluppatasi dalla metà degli anni novanta.

Prerequisites for further study

The topics of the course could extend to the context of Analysis in Metric Spaces, developed since the mid-nineties.

Indicazioni metodologiche

Il corso è costituito da lezioni frontali, che saranno tenute tramite la redazione e proiezione di appunti su supporto informatico e alla lavagna. Se necessario o espressamente richiesto, le lezioni potranno tenersi anche in lingua inglese.

Teaching methods

The course consists of frontal lectures, which will be held through the writing and projection of notes by computer and on the blackboard. If necessary, or expressly requested, the lectures can be also held in English.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

1. Richiami sulle misure. Misure, misure esterne e loro relazioni. Misure boreliane e misure di Radon. Misure vettoriali e loro variazione totale. Convergenza debole* di misure. Costruzione di Carathéodory, misura di Hausdorff e misura sferica.

2. Teoremi di ricoprimento e differenziabilità di misure. Teoremi di ricoprimento di Vitali, relazione di Vitali, teorema di ricoprimento di Besicovitch in spazi metrici direzionalmente limitati, differenziabilità di misure rispetto a una relazione di Vitali, teorema di differenziabilità di Lebesgue in spazi metrici doubling, differenziabilità rispetto a misure asintoticamente doubling(*).

3. Frattali. Insiemi di Cantor con parametro, frattali autosimili, varie costruzioni di frattali, calcolo della dimensione di Hausdorff di frattali, costruzione di Hutchinson.

4. Misura di Hausdorff e misura di Lebesgue. Disuguaglianza di Brunn-Minkowski, disuguaglianza isodiametrica e uguaglianza tra misura di Hausdorff e misura di Lebesgue.

5. Proprietà fini di funzioni, approssimazione e differenziabilità. Teoremi di Lusin e di Egorov. Teorema di Rademacher per funzioni di più variabili reali. Punti di densità di un insieme e unicità del differenziale. Nozioni di differenziabilità in spazi metrici(*). Spazi di Sobolev e funzioni a variazione limitata, teoremi di Meyers-Serrin e di Anzellotti-Giaquinta.

6. Elementi di algebra multilineare. Multivettori, prodotto esterno, mappe alternanti, dualità tra multivettori e mappe alternanti, prodotto scalare tra multivettori, prodotto esterno iterato di una mappa lineare e suo jacobiano rispetto ad un prodotto scalare.

7. Calcoli di aree k-dimensionali e formula di coarea per mappe lipschitziane. Teoremi di linearizzazione, trascurabilità dei valori singolari e formula dell’area per mappe lipschitziane tra spazi euclidei. Disuguaglianza di Eilenberg-Federer. Formule di area e di coarea per mappe vettoriali lipschitziane di più variabili reali.

8. Insiemi rettificabili. Nozione di insieme rettificabile, spazi tangenti approssimati, misure tangenti, varie caratterizzazioni degli insiemi rettificabili.

9. Insiemi a perimetro finito. Contenuto di Minkowski e disuguaglianza isoperimetrica. Disuguaglianza di immersione di Sobolev per funzioni liscie e disuguaglianza isoperimetrica con costante ottimale. Insiemi a perimetro finito, loro proprietà, teorema della divergenza per insiemi a perimetro finito e corrispondenti disuguaglianze isoperimetriche. Frontiera ridotta e teorema di rettificabilità di De Giorgi.

10. Cenni ad ulteriori sviluppi(*). Nozione di corrente di De Rham, bordo e massa di una corrente e prime operazioni sulle correnti. Brevi cenni alle correnti metriche di De Giorgi, Ambrosio e Kirchheim e alla regolarità delle superfici minime.

Il simbolo (*) indica argomenti che possono essere ampliati con studi successivi.

Syllabus

1. Preliminary facts on measures. Measures, outer measures and their relationships. Borel and Radon measures. Vector measures and their total variation. Weak* convergence of measures. Carathéodory’s construction, Hausdorff measures and spherical measures.

2. Covering theorems and differentiation of measures. Vitali covering theorems, Besicovitch covering theorem for directionally limited metric spaces, differentiation of measures with respect to a Vitali relation, Lebesgue differentiation theorem in doubling metric spaces, differentiation with respect to asymptotically doubling measures (*).

3. Fractals. Parametrized family of Cantor sets, self-similar fractals, various constructions of fractals, computation of the Hausdorff dimension of fractals, Hutchinson’s construction.

4. Hausdorff measure and Lebesgue measure. Brunn-Minkowski inequality, isodiametric inequality and equality between Hausdorff and Lebesgue measure.

5. Fine properties of functions, approximation and differentiability. Lusin's and Egorov's theorems. Rademacher's theorem for functions of several real variables. Density points of a set and uniqueness of the differential. Notions of differentiability in metric spaces (*). Sobolev spaces and functions of bounded variation, Meyers-Serrin and Anzellotti-Giaquinta theorems.

6. Basic notions of multilinear algebra. Multivectors, exterior product, alternating maps, duality between multivectors and alternating maps, scalar product between multivectors, iterated exterior product of a linear map and its Jacobian with respect to a scalar product.

7. Computing k-dimensional area and coarea formula for Lipschitz maps. Linearization theorems, negligibility of singular values and area formula for Lipschitz maps between Euclidean spaces. Eilenberg-Federer inequality. Area and coarea formulas for Lipschitz vector maps of several real variables.

8. Rectifiable sets. Notion of rectifiable set, approximate tangent spaces, tangent measures, various characterization of rectifiable sets.

9. Finite perimeter sets. Minkowski content and isoperimetric inequality. Sobolev inequality for smooth functions and isoperimetric inequality with optimal constant. Finite perimeter sets, their properties, divergence theorem for sets of finite perimeter and corresponding isoperimetric inequalities. Reduced boundary and De Giorgi's rectifiability theorem.

10. A few comments on further developments(*). De Rham's notion of current, boundary and mass of a current, first operations on currents. The notion of metric current by De Giorgi, Ambrosio and Kirchheim, regularity of minimal surfaces.

The topics with symbol (*) are only mentioned for subsequent studies.

Bibliografia e materiale didattico

[1] L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, 2000.

[2] L. Ambrosio, P. Tilli, Topics on analysis in metric spaces, Oxford University Press, Oxford, 2004.

[3] Y. D. Burago, V. A. Zalgaller, Geometric inequalities, Grundlehren Math., Springer, Berlin, 1988.

[4] L. C. Evans and R. F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, revised edition, CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

[5] K. Falconer, Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, Wiley, 2003.

[6] H. Federer, Geometric measure theory, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.

[7] S. G. Krantz, H. R. Parks, Geometric Integration Theory, Birkhäuser, Boston, 2008

[8] P. Mattila, “Geometry of sets and measures in Euclidean spaces”, Cambridge University Press, 1995

[9] L. Simon, Lectures on Geometric Measure Theory, Australian National University, Centre for Mathematical Analysis, 1984.

[10] W. Ziemer, “Weakly differentiable functions.Sobolev spaces and functions of bounded variation”, Springer-Verlag, 1989

Bibliography

[1] L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, 2000.

[2] L. Ambrosio, P. Tilli, Topics on analysis in metric spaces, Oxford University Press, Oxford, 2004.

[3] Y. D. Burago, V. A. Zalgaller, Geometric inequalities, Grundlehren Math., Springer, Berlin, 1988.

[4] L. C. Evans and R. F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, revised edition, CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

[5] K. Falconer, Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, Wiley, 2003.

[6] H. Federer, Geometric measure theory, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.

[7] S. G. Krantz, H. R. Parks, Geometric Integration Theory, Birkhäuser, Boston, 2008

[8] P. Mattila, “Geometry of sets and measures in Euclidean spaces”, Cambridge University Press, 1995

[9] L. Simon, Lectures on Geometric Measure Theory, Australian National University, Centre for Mathematical Analysis, 1984.

[10] W. Ziemer, “Weakly differentiable functions.Sobolev spaces and functions of bounded variation”, Springer-Verlag, 1989

Modalità d'esame

L'esame è costituito da due parti. La prima è una prova orale su una selezione di argomenti del corso, che richiede la conoscenza di risultati, dimostrazioni ed il saper affrontare eventuali esercizi. La seconda parte è in forma seminariale su un argomento scelto dallo studente. Il seminario svilupperà un argomento interamente nuovo o solo parzialmente trattato nel corso. 

Assessment methods

The exam consists of two parts. The first one is an oral examination on a selection of course topics, which requires knowledge of results, proofs and the ability to tackle possible exercises. The second part is a seminar on a topic chosen by the student. The seminar will develop an entirely new or only partially covered topic of the course.

Ultimo aggiornamento 14/09/2022 16:26