Si richiede la conoscenza dei corsi di Analisi del primo biennio, la teoria della misura di Lebesgue e le nozioni essenziali di Teoria della Misura. Saranno comunque richiamati tutti i risultati necessari, come la differenziabilità quasi ovunque delle funzioni monotone, le proprietà basilari delle misure astratte, misure boreliane e di Radon, l'integrazione astratta, il teorema di Radon-Nikodym, il teorema di Fubini, i teoremi di convergenza per successioni di funzioni misurabili e il teorema di rappresentazione di Riesz per funzionali su spazi di funzioni continue. Tutti i teoremi utilizzati avranno comunque delle precise referenze. Un corso di Analisi Reale contiene ampiamente i prerequisiti richiesti.

Gli sviluppi del corso renderanno utile anche la conoscenza dei risultati essenziali su varietà differenziabili dello spazio euclideo. Quindi lo studente può facoltativamente frequentare anche un corso che tratti argomenti di geometria differenziale. 

Gli argomenti del corso potrebbero estendersi al contesto dell'Analisi in Spazi Metrici, sviluppatasi dalla metà degli anni novanta.

Il corso è costituito da lezioni frontali, che saranno tenute tramite la redazione e proiezione di appunti su supporto informatico e alla lavagna. Se necessario o espressamente richiesto, le lezioni potranno tenersi anche in lingua inglese.

1. Richiami sulle misure. Misure, misure esterne e loro relazioni. Misure boreliane e misure di Radon. Misure vettoriali e loro variazione totale. Convergenza debole* di misure. Costruzione di Carathéodory, misura di Hausdorff e misura sferica.

2. Teoremi di ricoprimento e differenziabilità di misure. Teoremi di ricoprimento di Vitali, relazione di Vitali, teorema di ricoprimento di Besicovitch in spazi metrici direzionalmente limitati, differenziabilità di misure rispetto a una relazione di Vitali, teorema di differenziabilità di Lebesgue in spazi metrici doubling, differenziabilità rispetto a misure asintoticamente doubling(*).

3. Frattali. Insiemi di Cantor con parametro, frattali autosimili, varie costruzioni di frattali, calcolo della dimensione di Hausdorff di frattali, costruzione di Hutchinson.

4. Misura di Hausdorff e misura di Lebesgue. Disuguaglianza di Brunn-Minkowski, disuguaglianza isodiametrica e uguaglianza tra misura di Hausdorff e misura di Lebesgue.

5. Proprietà fini di funzioni, approssimazione e differenziabilità. Teoremi di Lusin e di Egorov. Teorema di Rademacher per funzioni di più variabili reali. Punti di densità di un insieme e unicità del differenziale. Nozioni di differenziabilità in spazi metrici(*). Spazi di Sobolev e funzioni a variazione limitata, teoremi di Meyers-Serrin e di Anzellotti-Giaquinta.

6. Elementi di algebra multilineare. Multivettori, prodotto esterno, mappe alternanti, dualità tra multivettori e mappe alternanti, prodotto scalare tra multivettori, prodotto esterno iterato di una mappa lineare e suo jacobiano rispetto ad un prodotto scalare.

7. Calcoli di aree k-dimensionali e formula di coarea per mappe lipschitziane. Teoremi di linearizzazione, trascurabilità dei valori singolari e formula dell’area per mappe lipschitziane tra spazi euclidei. Disuguaglianza di Eilenberg-Federer. Formule di area e di coarea per mappe vettoriali lipschitziane di più variabili reali.

8. Insiemi rettificabili. Nozione di insieme rettificabile, spazi tangenti approssimati, misure tangenti, varie caratterizzazioni degli insiemi rettificabili.

9. Insiemi a perimetro finito. Contenuto di Minkowski e disuguaglianza isoperimetrica. Disuguaglianza di immersione di Sobolev per funzioni liscie e disuguaglianza isoperimetrica con costante ottimale. Insiemi a perimetro finito, loro proprietà, teorema della divergenza per insiemi a perimetro finito e corrispondenti disuguaglianze isoperimetriche. Frontiera ridotta e teorema di rettificabilità di De Giorgi.

10. Cenni ad ulteriori sviluppi(*). Nozione di corrente di De Rham, bordo e massa di una corrente e prime operazioni sulle correnti. Brevi cenni alle correnti metriche di De Giorgi, Ambrosio e Kirchheim e alla regolarità delle superfici minime.

Il simbolo (*) indica argomenti che possono essere ampliati con studi successivi.

[1] L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, 2000.

[2] L. Ambrosio, P. Tilli, Topics on analysis in metric spaces, Oxford University Press, Oxford, 2004.

[3] Y. D. Burago, V. A. Zalgaller, Geometric inequalities, Grundlehren Math., Springer, Berlin, 1988.

[4] L. C. Evans and R. F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, revised edition, CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

[5] K. Falconer, Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, Wiley, 2003.

[6] H. Federer, Geometric measure theory, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.

[7] S. G. Krantz, H. R. Parks, Geometric Integration Theory, Birkhäuser, Boston, 2008

[8] P. Mattila, “Geometry of sets and measures in Euclidean spaces”, Cambridge University Press, 1995

[9] L. Simon, Lectures on Geometric Measure Theory, Australian National University, Centre for Mathematical Analysis, 1984.

[10] W. Ziemer, “Weakly differentiable functions.Sobolev spaces and functions of bounded variation”, Springer-Verlag, 1989

L'esame è costituito da due parti. La prima è una prova orale su una selezione di argomenti del corso, che richiede la conoscenza di risultati, dimostrazioni ed il saper affrontare eventuali esercizi. La seconda parte è in forma seminariale su un argomento scelto dallo studente. Il seminario svilupperà un argomento interamente nuovo o solo parzialmente trattato nel corso.