CdSMATEMATICA
Codice224AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano
Il corso è un'introduzione alla teoria ergodica. Lo studente imparerà i concetti e le tecniche fondamentali della teoria ergodica, che aiutano ad analizzare i sistemi dinamici in matematica e in altre discipline scientifiche.
La teoria ergodica è la disciplina matematica che si occupa di sistemi dinamici dotati di misure invarianti. Un sistema dinamico (discreto) è una trasformazione f : M → M in uno spazio misurabile M. Pensiamo a M come allo spazio di tutti i possibili stati di un dato sistema e a f come alla legge di evoluzione del sistema. Se l'elemento x in M è lo stato iniziale del sistema, allora f(x) è lo stato del sistema dopo l'unità di tempo. Supponiamo sempre che f sia misurabile e lasci invariante una misura definita su M.
The course is an introduction to the subject of ergodic theory. The student will learn the basic concepts and methods of ergodic theory, which help analyze dynamical systems in mathematics and other scientific disciplines.
Ergodic theory is the mathematical discipline dealing with dynamical systems endowed with invariant measures. A (discrete) dynamical system is a transformation f : M → M in some measurable space M. We think of M as the space of all possible states of a given system, and of f as the evolution law of the system. If the element x in M is the initial state of the system, then f(x) is the state of the system after of unit of time. We always assume that f is measurable and leaves invariant a measure defined on M.
- Presentazione orale (seminario) di una tesina finale scritta su un argomento di teoria ergodica scelto dallo studente e approvato dai docenti
- Problemi assegnati periodicamente
- Final written essay and oral presentation on a topic in ergodic theory chosen by the student and approved by the lecturers
- Homework
Lo studente avrà una conoscenza dettagliata di una serie di esempi fondamentali nella teoria ergodica e capirà le prove dei teoremi fondamentali.
The student will have a detailed knowledge of a number of fundamental examples in ergodic theory and will understand the proofs of the fundamental theorems.
- Discussione di concetti e problemi a lezioni e durante i ricevimenti
- Esercizi assegnati periodicamente
- Discussion of concepts and homework problems in class and during office hours
- Homework
Lo studente sarà in grado di applicare concetti e metodi di base della teoria ergodica allo studio dei sistemi dinamici in matematica e in altre discipline scientifiche.
The student will be able to apply basic concepts and methods of ergodic theory for studying dynamical systems in mathematics and other scientific disciplines.
Discussione di concetti e problemi a lezioni e durante i ricevimenti.
Discussion of concepts and homework problems in class and during office hours.
Analisi reale, nozioni di base della teoria della misura e analisi funzionale
Real analysis, basic notions of measure theory and functional analysis
Gli argomenti trattati nel corso sono i seguenti:
- Ricorrenza: misure invarianti, teorema di ricorrenza di Poincaré, esempi
- Esistenza di misure invarianti: topologia debole*, teorema di Krylov-Bogoliubov
- Teoremi ergodici: teorema ergodico di von Neumann, teorema ergodico di Birkhoff, teorema ergodico subadditivo
- Ergodità: sistemi ergodici, esempi, proprietà delle misure ergodiche, decomposizione ergodica
- Ergodicità unica: ergodicità unica, minimalità, misura di Haar
- Mixing: mixing, Markov shifts
- Sistemi equivalenti: equivalenza ergodica, equivalenza spettrale
- Entropia: entropia metrica, teorema di Kolmogorov-Sinai, entropia locale, esempi
- Mappe espansive: esistenza di misure invarianti assolutamente continue
The topics covered in the course are the following:
- Recurrence: invariant measures, Poincaré recurrence theorem, examples
- Existence of invariant measures: weak* topology, Krylov-Bogoliubov theorem
- Ergodic Theorems: von Neumann ergodic theorem, Birkhoff ergodic theorem, subadditive ergodic theorem
- Ergodicity: ergodic systems, examples, properties of ergodic measures, ergodic decomposition
- Unique ergodicity: unique ergodicity, minimality, Haar measures
- Mixing: mixing systems, Markov shifts
- Equivalent systems: ergodic equivalence, spectral equivalence
- Entropy: metric entropy, Kolmogorov-Sinai theorem, local entropy, examples
- Expanding maps: existence of absolutely continuous invariant measures
- M. Viana and K. Oliveira, Foundations of Ergodic Theory, Cambridge University Press, 2016
- P. Walters, An introduction to ergodic theory, Springer, 1982
- M. Viana and K. Oliveira, Foundations of Ergodic Theory, Cambridge University Press, 2016
- P. Walters, An introduction to ergodic theory, Springer, 1982
- Tesina finale scritta su un argomento scelto dallo studente
- Presentazione orale della tesina
- Risoluzione di problemi
- Final written essay on a topic chosen by student and approved by lecturers
- Oral presentation of the final essay
- Homework