• Tutto il precorso, in particolare saper disegnare insiemi del piano descritti mediante equazioni e/o disequazioni e saper risolvere sistemi di equazioni.
• Tutto il corso di Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
• Tutto il corso di Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici, forme quadratiche).

Lezioni registrate con messa a disposizione delle registrazioni.

 Calcolo differenziale in più variabili

• Lo spazio R^n. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
• Funzioni di più variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili: linee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
• Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Relazione tra il limite ed il limite delle restrizioni.
• Limiti all’infinito per funzioni di più variabili.
• Derivate parziali e direzionali per una funzione di più variabili e loro significato geometrico. Mancanza di relazioni tra l’esistenza delle derivate parziali e direzionali in un punto e la continuità nel punto stesso.
• Differenziale per funzioni di più variabili e sua interpretazione geometrica in termini di (iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
• Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o più variabili.
• Massimi e minimi locali e globali per funzioni di più variabili. Se in un punto di massimo o minimo interno una funzione è differenziabile, allora il suo gradiente si annulla.
• Richiami sulle forme quadratiche in più variabili: nozione di forma definita positiva e definita negativa.
• Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario. Convessità e concavità in più variabili.
• Insiemi compatti in R^n. Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili. Generalizzazioni del teorema di Weierstrass nel caso di insiemi non limitati.
• Massimi e minimi vincolati: metodo delle linee di livello.
• Massimi e minimi vincolati: metodo di parametrizzazione del vincolo.
• Massimi e minimi vincolati: metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
• Calcolo differenziale per funzioni da R^n ad R^m. Matrice Jacobiana.
• Derivazione di funzioni composte. Derivazione di integrali dipendenti da parametro.
• Teorema delle funzioni implicite.

Calcolo integrale in più variabili

• Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico/fisico.
• Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
• Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
• Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
• Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
• Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle coordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
• Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
• Solidi di rotazione. Teorema di Guldino per il volume dei solidi di rotazione.
• Integrali impropri in più variabili: definizioni e studio della convergenza.

Curve, superfici, calcolo vettoriale

• Curve: definizione. Curve chiuse e semplici. Vettore, versore e retta tangente.
• Lunghezza di una curva: definizione e calcolo.
• Integrali curvilinei (integrale di una funzione lungo una curva).
• Forme differenziali.
• Integrale di una forma differenziale lungo un curva. Forme differenziali esatte e potenziali.
• Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse. Relazioni tra forme differenziali chiuse ed esatte.
• Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
• Area di una superficie: definizione e calcolo.
• Teorema di Guldino per il calcolo dell’area di una superficie di rotazione.
• Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
• Operatori differenziali: divergenza, rotore, Laplaciano, gradiente. Relazioni tra gli operatori differenziali.
• Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
• Formula di Gauss-Green (teorema della divergenza): enunciati ed applicazioni.
• Formula di Stokes (teorema del rotore): enunciati ed applicazioni.

Marina Ghisi, Massimo Gobbino. "Analisi Matematica II, Schede ed Esercizi", casa editrice Esculapio.

L'esame consisterà di una prova scritta e di una prova orale. I dettagli delle modalità dipenderanno dalla situazione Covid.