CdSFISICA
Codice632AA
CFU15
PeriodoAnnuale
LinguaItaliano
Lo studente acquisirà le conoscenze fondamentali sul calcolo differenziale e integrale.
Students will acquire fundamental knowledge on differential and integral calculus.
Durante le lezioni è prevista una interazione con gli studenti per valutare eventuali difficoltà di apprendimento. Inoltre saranno svolte delle prove in itinere durante il corso.
During the lectures students are invited to interact to evaluate possible difficulties in learning. Moreover some test will be taken during the course.
Lo studente saprà applicare le regole del calcolo differenziale e integrale.
The students will be able to use methods from differential and integral calculus.
Conoscenza dei metodi algebrici per la risoluzione di equazioni e disequazioni.
Knowledge of algebraic methods to solve equations and inequalities.
Lezioni frontali. Esercizi settimanali con autovalutazione. Il materiale didattico sarà disponibile sulla pagina web del docente: comprendono appunti e video. Sono previste prove in itinere.
Frontal lessons. Weekly tests. Educational material will available in the web page of the teacher: notes and videos are available. Partial test will be taken during the course.
FOUNDATIONS Logical connectives, logical quantifiers, set theory, functions, invertibility. Natural numbers, principle of induction. Real numbers, elementary operations. Axiom of continuity (Dedekind), supremum/infimum, points at infinity, intervals. Monotone functions, linear functions, quadratic functions, power function. Polynomials, binomial coefficient. Cardinality, Cantor's theorem.
CONTINUITY AND LIMITS Continuous functions, limits, comparison criteria. Sequences, monotonic sequences. Recursive sequences, fixed points, invariant intervals, monotonicity criteria. The number "e". Ratio and root tests. Orders of infinity, asymptotic equivalence. Extracted sequences, limit points. Zeroes theorem, Weierstrass' theorem. Complex numbers, trigonometric functions, complex exponential. Complex polynomials, fundamental theorem of algebra.
SERIES Nature of a series. Telescopic series. Series with positive terms, comparison criteria, root/ratio test. The harmonic series. Absolute convergence. Alternating series (Leibniz's theorem). Exchange of the order of summation, Cauchy sums, unconditional convergence.
DIFFERENTIAL CALCULUS Derivative, monotonicity criteria, function analysis. Convexity, Jensen's inequality. Fermat's, Rolle's, Lagrange's, Cauchy's, L'Hôpital's theorems. Taylor's formula. Taylor series, analytic functions.
INTEGRAL CALCULUS Peano-Jordan measure. Riemann integral. Torricelli-Barrow theorem. Calculation of primitives, Hermite's decomposition for rational functions. Improper integrals, convergence criteria, absolute convergence. Wallis' formula. Stirling's formula.
UNIFORM CONVERGENCE Metric spaces. Uniform convergence. Passing the limit under the integral sign. Interchanging differentiation and limits. Cauchy sequences, completeness. Banach-Caccioppoli theorem.
DIFFERENTIAL EQUATIONS Linear first-order equations. Separable variable equations. Cauchy-Lipschitz theorem. Maximal solutions. Global existence theorem, Gronwall's lemma. Linear equations of higher order with constant coefficients. Structure theorem for solutions of a linear equation. Characteristic polynomial, similarity method, variation of constants.
FONDAMENTI
Connettivi logici, quantificatori logici, teoria degli insiemi, funzioni, invertibilità. I numeri naturali, principio di induzione. Numeri reali, operazioni elementari. Assioma di continuità (Dedekind), estremo superiore/inferiore, punti all'infinito, intervalli. Funzioni monotone, funzioni lineari, funzioni quadratiche, funzione potenza. Polinomi, coefficiente binomiale. Cardinalità, teorema di Cantor.
CONTINUITA' e LIMITI
Funzioni continue, limiti, criteri di confronto. Successioni, successioni monotòne. Successioni ricorsive, punti fissi, intervalli invarianti, criteri di monotonia. Il numero "e". Criteri del rapporto e della radice. Ordini di infinito, equivalenza asintotica. Successioni estratte, punti limite. Teorema degli zeri, teorema di Weierstrass. Numeri complessi, funzioni trigonometriche, esponenziale complesso. Polinomi complessi, il teorema fondamentale dell'algebra.
SERIE
Carattere di una serie. Serie telescopiche. Serie a termini positivi, criteri di confronto, criterio della radice/rapporto. La serie armonica. Convergenza assoluta. Serie a segni alterni (teorema di Leibniz). Scambio dell'ordine della somma, somme alla Cauchy, convergenza incondizionata.
CALCOLO DIFFERENZIALE
Derivata, criteri di monotonia, studio di funzione. Convessità, disuguaglianza di Jensen. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, L'Hospital. Formula di Taylor. Serie di Taylor, funzioni analitiche.
CALCOLO INTEGRALE
Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann. Teorema di Torricelli-Barrow. Calcolo delle primitive, decomposizione di Hermite per le funzioni razionali. Integrali impropri, criteri di convergenza, convergenza assoluta. Formula di Wallis. Formula di Stirling.
CONVERGENZA UNIFORME
Spazi metrici. Convergenza uniforme. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Scambio della derivata con il limite. Successioni di Cauchy, completezza. Il teorema di Banach-Caccioppoli.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni a variabili separabili. Teorema di Cauchy-Lipschitz. Soluzioni massimali. Teorema di esistenza globale, lemma di Gronwall. Equazioni lineari di di ordine superiore a coefficienti costanti. Teorema di struttura delle soluzioni di una equazione lineare. Polinomio caratteristico, metodo di similiarità, variazione delle costanti.
Paolini "Appunti di Analisi Uno" createspace (amazon)
Giusti "Analisi Matematica" Vol. I e Vol. II, ed Boringhieri
Rudin "Principi di Analisi Matematiica" ed. McGraw-Hill
Prodi "Analisi Matematica", ed. Boringhieri
Acerbi - Buttazzo "Analisi Matematica 1", ed. Pitagora
Pagani - Salsa "Analisi matematica 1" ed Zanichelli
Marcellini - Sbordone "Analisi Matematica Uno", Liguori editore
Marcellini - Sbordone "Esercitazioni di Matematica", Liguori editore
Gli appunti del corso sono a disposizione nella pagina web del corso.
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Prove scritte parziali durante lo svolgimento del corso. Il superamento delle prove parziali esonera dall'esame scritto.
Prova scritta e prova orale.
Partial tests during the course. Written and oral exams.
Pagina e-learning (moodle) del corso: https://elearning.df.unipi.it/course/view.php?id=203
Pagina web del docente: http://pagine.dm.unipi.it/paolini/
teacher's web page: http://pagine.dm.unipi.it/paolini/