Analisi 1, 2, 3. In particolare: integrzione su superfici regiolari ed integrazione per parti (teorema della divergenza) in R^n; integrazione secondo Lebesgue; spazi L^2 (e più in generale spazi L^p); densità delle funzioni regolari negli spazi L^p; proprietà base della convoluzione; convergneza forte negli spazi L^p; convergenza Lebesgue quasi-ovunque. 

Capitolo 1. Gli spazi Lp come spazi di Banach.

• Operatori lineari continui su uno spazio di Banach.
• Teorema di Hahn-Banach.
• Norma di un operatore lineare continuo.
• Le nozioni di spazio duale e di convergenza debole in uno spazio di Bananch.

• Lo spazio duale di Lp nel caso p>1.

• La nozione di convergenza debole negli spazi Lp nel caso p > 1.
• Le successioni limitate (di funzioni in Lp) sono debolmente compatte.
• Le successioni debolmente convergenti (di funzioni in Lp) sono limitate.

• Semicontinuità della norma rispetto alla convergenza debole.

Capitolo 2. Spazi di Sobolev di funzioni di una variabile.

• Derivate deboli e definizione degli spazi W 1,p su un intervallo I ⊂ R.

• Gli spazi W1,p(I) come spazi di Banach.
• Teorema fondamentale del calcolo integrale in W1,p(I).
• Approssimazione con funzioni regolari.

• Somma, prodotto, modulo, inf e sup di funzioni di Sobolev.

• Teoremi di estensione.
• Limitatezza delle funzioni di Sobolev.
• Funzioni di Sobolev su intervalli limitati e serie di Fourier.

• Funzioni di Sobolev su R e trasformata di Fourier.

• Applicazioni alla risoluzione di problemi ellittici e parabolici su intervalli.

Capitolo 3. Spazi di Sobolev di funzioni di più variabili.

• Derivate deboli e definizione degli spazi W1,p su insiemi aperti di Rd.

• Completezza degli spazi W 1,p .

• Gli spazi W1,p 0

• Approssimazione con funzioni regolari.

• Teoremi di estensione.

• Disuguaglianza di Poincaré.

• Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger.

• Teorema di Rellich.

• Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev.

• Immersioni di Sobolev nel caso critico p = d.

• Lemma di Morrey e immersioni di Sobolev nel caso p > d.

• Traccia di una funzione di Sobolev sul bordo di un dominio regolare.

• Teorema di Gagliardo e disuguaglianze integrali di Hardy e Minkowski.

• Formulazione debole di problemi ellittici.

• Operatori compatti su spazi di Hilbert. Teorema spettrale.

• Autovalori e autofunzioni del Laplaciano di Dirichlet.

• Equazione del calore su domini limitati.

Le dispense del corso verranno caricate sul sito del corso (il link sarà disponibile sul https://people.dm.unipi.it/velichkov/teaching.html). 

Libri di testo utili sono:

• H. Brezis; Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations; Springer.
• L.C. Evans, R.F. Gariepy; Measure theory and fine properties of functions; CRC Press.
• L.C. Evans; Partial Differential Equations; Graduate Studies in Mathematics.

Esame orale

https://people.dm.unipi.it/velichkov/spazi-di-sobolev-23-24.html