CdSFISICA
Codice719AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano
| Moduli | Settore/i | Tipo | Ore | Docente/i | |
| GEOMETRIA DIFFERENZIALE | MAT/03 | LEZIONI | 48 |
|
Lo scopo del corso è fornire agli studenti delle solide conoscenze riguardanti i più importanti aspetti della geometria differenziale, con un'attenzione particolare a quegli strumenti che hanno applicazioni in fisica teorica. In particolare, la/o studente che completa il percorso con successo acquisirà solide conoscenze sugli argomenti seguenti: - varietà lisce; - campi vettoriali, fibrati vettoriali e flussi; - geometria Riemanniana di base; - forme differenziali.
The aim of the course is to provide the students with a solid knowledge of the most important aspects of differential geometry, with an eye towards the tools that find application in theoretical physics. In particular, the student who successfully completes the course will acquire a solid knowledge of: - smooth manifolds; - vector bundles, vector fields and flows; - basic Riemannian geometry; - differential forms.
Esame orale.
Oral exam.
Capire e manipolare varietà lisce, campi e fibrati vettoriali, metriche riemanniane.
Understanding and manipulating smooth manifolds, vector fields and bundles, Riemannian metrics.
Esame orale.
Oral exam.
Non si applica al tipo di corso.
Not applicable to the course.
Nessuna.
None.
I corsi di matematica del primo anno, e di analisi del secondo anno.
The 1st year math courses, and the 2nd year analysis course.
Lezioni frontali.
Delivery: face-to-face lessons.
Cenni di topologia generale.
Varietà lisce. Spazio tangente. Differenziale di una funzione. Sottovarietà. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Tensori. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilità. Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes.
Varietà pseudo-riemanniane. Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci. Cenni su gruppi di Lie e algebre di Lie; metriche invarianti.
Elements of general topology.
Smooth manifolds. Tangent bundle. Differential of a function. Submanifolds. Vector bundles. Tangent and cotangent bundles. Tensors. Tensor bundles. Sections of vector bundles and vector fields. Lie bracket. Orientability. Differential forms. Exterior derivative. Integration. Stokes' theorem.
Pseudo-Riemannian manifolds. Connections on a vector bundle. Covariant derivative along a curve. Parallel transport. Levi-Civita connection. Geodesics. Exponential map. Normal neighbourhoods. Length of a curve. Geodesics are locally minimizing curves. Gauss' lemma. Theorem of Hopf-Rinow. Riemannian, sectional and Ricci curvature. Elements of Lie groups and Lie algebras; invariant metrics.
Gallot, Hulin, Lafontaine. Riemannian geometry. Springer-Verlag.
Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry - Methods and Applications. Part II: The Geometry and Topology of Manifolds. Springer.
Gallot, Hulin, Lafontaine. Riemannian geometry. Springer-Verlag.
Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry - Methods and Applications. Part II: The Geometry and Topology of Manifolds. Springer.
Fare riferimento alla pagina elearning del corso.
Esame orale.