Aritmetica, Algebra 1

Anelli e ideali.

Anelli e ideali. Anelli a ideali principali e a fattorizzazione unica. Operazioni su ideali di un anello commutativo unitario: somma, prodotto, intersezione, radicale. Ideali coprimi, ideale quoziente, annullatore. Ideali primi, massimali, irriducibili. Nilradicale e radicale di Jacobson. Estensioni e contrazioni di ideali. Prodotto e somma diretta di anelli. Teorema cinese del resto. Interpolazione di Lagrange. L’anello dei polinomi A[x] e i suoi ideali. Spec Z[x]. Polinomi in piu' variabili. Ordinamenti monomiali. Algoritmo di divisione
per polinomi in $K[x_1 , . . . , x_n ]$. Monoideali. Frontiera di un monoideale. Lemma di Dickson. Ideali monomiali: caratterizzazione degli ideali monomiali irriducibili, radicali, primi e primari. Basi di Groebner. Algoritmo di Buchberger. Proprieta' di eliminazione dell’ordinamento lessicografico. Il risultante. Teoremi di estensione. Teorema
degli zeri di Hilbert. Corrispondenza ideali varieta' affini. Ideali zero dimensionali e basi di Groebner.

Moduli.

Moduli su un anello commutativo unitario. Sottomoduli e quozienti. Omomorfismi di moduli. Somma diretta e prodotto diretto di moduli. Moduli liberi, rango. Moduli finitamente generati. Teorema di Hamilton-Cayley.
Lemma di Nakayama. Moduli su PID e loro struttura: forma normale di Smith e di Hermite.
Successioni esatte. Successioni di A-moduli e di omomorfismi di A-moduli. I funtori $\Hom(-,N)$ e $\Hom(M,-)$. Successioni che spezzano. Moduli proiettivi. Prodotto tensoriale. Proprieta' del funtore prodotto tensoriale e moduli piatti. Estensione e restrizione di scalari. Anelli locali e semilocali. Anello delle frazioni e localizzazione di anelli e
moduli, ideali degli anelli localizzati, contrazione ed estensione, localizzazioni successive, commutativita'  della localizzazione rispetto al passaggio al quoziente. Esattezza del funtore $S ^{−1}$ . $S^{ −1} A$ `e un A-modulo piatto. Proprieta'  locali. Anelli e moduli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Ideali irriducibili e primari, decomposizione di un ideale come intersezione di ideali primari. Anelli e moduli artiniani. Dimensione di un anello.

• M. F. Atiyah, I.G. Macdonald, “Introduzione all’Algebra Commutativa”,
trad. di P. Maroscia, Feltrinelli, Milano, 1981.

• H. Matsumura, “Commutative Ring Theory”, Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 1986.

• D. Eisenbud, “Commutative Algebra with a view toward Algebraic
Geometry”, Graduate Texts in Math., Vol.150, Springer-Verlag, 1994

• M. Reid, “Undergraduate Commutative Algebra”, LMS student series,-
CUP1995

• D. Cox, J. Little, D. O’Shea, “Ideals, Varieties and Algorithms”. Sprin-
ger-Verlag, 1992.

Una parte scritta e una parte orale.

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