Scheda programma d'esame
ALGEBRE E GRUPPI DI LIE
GIOVANNI GAIFFI
Anno accademico2022/23
CdSMATEMATICA
Codice089AA
CFU6
PeriodoSecondo semestre
LinguaItaliano

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
ALGEBRE E GRUPPI DI LIE/aMAT/02LEZIONI42
GIOVANNI GAIFFI unimap
Programma non disponibile nella lingua selezionata
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze
  • Al termine del corso  studente avrà acquisito le prime conoscenze in merito agli strumenti e alle metodologie per lavorare in algebra e geometria con le algebre e i gruppi di Lie.

 

Modalità di verifica delle conoscenze

Esame orale.

Capacità

Saper lavorare con  le  algebre e i gruppi di Lie. 

Modalità di verifica delle capacità

Risoluzione, durante l'orale, di esercizi e discussione degli aspetti teorici.

Comportamenti

Partecipare attivamente alle lezioni.

Modalità di verifica dei comportamenti

Nessuna.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Algebra lineare, come studiata nel corso  di Geometria del primo anno. Primi elementi di geometria differenziale.

Corequisiti

Nessuno.

Prerequisiti per studi successivi

Nessuno.

Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali, con ausilio di slides.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

 

Introduzione: algebra di Lie associata ad un gruppo di Lie. Le azioni aggiunte Ad e ad. Forme bilineari e invarianza.

Algebre risolubili, prime propriet\`a. Il teorema di Lie. Algebre torali massimali e splitting della complessificazione di un'algebra di Lie semisemplice compatta come somma dei suoi spazi peso rispetto alle radici.

Sistemi di radici, diagrammi di Dynkin e loro classificazione completa. Gruppi di Weyl.

Come si ottiene il sistema di radici di un'algebra di Lie semisemplice complessa. Confronti fra metodo geometrico (visto per i gruppi compatti) e algebrico di ottenere un sistema di radici. Corollario: dimostrazione del teorema di classificazione delle algebre di Lie compatte reali. Informazioni sul fatto che questo si estende al teorema di classificazione delle algebre di Lie semisemplici complesse.

 Algebre tensoriali e simmetriche. L'algebra inviluppante di un'algebra di Lie, il teorema di Poincar\`e-Birkhoff-Witt e corollari.

 Azioni dell'algebra inviluppante. Dimostrazione del teorema di Poincar\`e Birkhoff Witt.

 Rappresentazioni di un'algebra di Lie semisemplice complessa. Spazi peso. Moduli standard ciclici e loro caratterizzazione. Teorema: ad ogni elemento nel duale della sottoalgebra torale corrisponde un unico modulo standard ciclico irriducibile.

Teorema di classificazione completa delle rappresentazioni irriducibili complesse di dimensione finita di un'algebra di Lie semisemplice complessa. Esempi: rappresentazioni di $sl(n,C)$ nell'algebra esterna e nell'algebra simmetrica.

 Cenni su: decomposizione di Levi, Teorema di Levi-Malcev, Teorema di Ado, rappresentazioni irriducibili di algebre di Lie non semisemplici.

 

Bibliografia e materiale didattico

Humphreys, Introduction to Lie Algebreas and Representation Theory, Springer.

Knapp, Lie groups beyond an introductio, Birkhauser.

Warner, Foundation of differentiable manifolds and Lie groups, Springer.

 

Indicazioni per non frequentanti

Nessuna.

Modalità d'esame

Esame orale.

Stage e tirocini

Nessuno.

Ultimo aggiornamento 03/08/2022 08:16